Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Eine Linie ist breitenlose Länge. Die Enden einer Linie sind Punkte. Eine gerade Linie ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt...

Zwanzig Jahrhunderte lang hat überall in der westlichen Welt und im Nahen Osten mit diesen Definitionen der Mathematikunterricht begonnen. Sie stammen aus dem dauerhaftesten wissenschaftlichen Lehrbuch aller Zeiten: „Stoicheia“, verfaßt von Eukleides aus Alexandria um 300 v. Chr. Besser ist es uns bekannt als „Die Elemente“ von Euklid.

Daß ein mehr als zweitausend Jahre alter Text noch in der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts ein aktuelles Unterrichtsbuch sein konnte, hängt mit der Reinheit der Lehre zusammen, der er gewidmet ist. Jede mathematische Aussage hat, sofern sie richtig ist, Ewigkeitswert. Und richtig ist sie, wenn sie ein einziges Mal schlüssig bewiesen wurde. Darum ist der im 6. Jahrhundert v. Chr. bewiesene Lehrsatz des Pythagoras heute so wahr wie vor zweieinhalbtausend Jahren.

Was wir über den Autor der „Elemente“ wissen, stammt fast ausschließlich aus einem Kommentar, den der Mathematiker Proklos Diadochos mehr als 700 Jahre nach Euklids Tod verfaßt hat. Danach lehrte Euklid in Alexandria Mathematik zur Zeit, da Ptolemäus der Erste diese Stadt zum kulturellen Mittelpunkt der damaligen Welt machte. Das war um 300 v. Chr. Ptolemäus soll, so erzählt Proklos, den Mathematiker gefragt haben, ob es nicht einen kürzeren Weg durch die Geometrie gäbe als die „Elemente“. Euklids Antwort: „Zur Geometrie gibt es keinen besonderen Zugang für Könige.“

Der Zugang, den die „Elemente“ zu Geometrie und Zahlentheorie gewähren, hat sich als exemplarisch für die Mathematik der Folgezeit erwiesen. Der Originaltitel des aus 13 Büchern bestehenden Werks, „Stoicheia“, bezeichnet in der ursprünglichen Wortbedeutung Dinge, die aufeinander folgen, weshalb das Wort zum Beispiel für „Buchstaben“ oder „Alphabet“ benutzt wurde, aber auch für die Glieder einer Reihe oder Kette.

Die Glieder sind für Euklid die mathematischen Lehrsätze. Aneinandergereiht sieht er sie, weil jede dieser Aussagen aus anderen, vorhergehenden, nach den Gesetzen der Logik abgeleitet ist. Eine solche Denkkette aber muß einen Anfang haben. Ihn stellen die Postulate (Forderungen) und Axiome (elementare Wahrheiten) dar. Euklid versteht darunter in beiden Fällen Aussagen, deren Richtigkeit so selbstverständlich ist, daß sie keines Beweises bedürfen. Beispiele dafür aus dem ersten Buch: „Alle rechten Winkel sind einander gleich“, „Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich“ oder „Das Ganze ist größer als der Teil“. Euklids Einteilung der evidenten Aussagen in Postulate und Axiome erweist sich schon in seinem eigenen Text als überflüssig, weil er beide gleich behandelt – als die elementaren Bausteine, mit denen er das Gebäude der Mathematik errichtet.

Schon vor Euklid sind mathematische Abhandlungen nach dieser „axiomatischen Methode“ verfaßt worden, zum Beispiel die „Elemente“ des Hippokrates von Chios. Aber niemand hat sich so strikt daran gehalten und das mathematische Wissen seiner Zeit so umfassend in das System verflochten wie Euklid, der damit eine bis heute gepflegte mathematische Kultur begründete.