Streit um eine DenksportaufgabeEine überzeugende LogikSeite 2/2

Warum, verflixt, steigt die Wahrscheinlichkeit, einen Treffer zu landen, wenn man sich von der Erstwahl lossagt und auf die andere, noch verschlossene Tür tippt? Genau an diesem Punkt scheiden sich die Geister, denn die Savant-Gegner halten es für gleich wahrscheinlich, daß hinter den Türen eins und zwo der Gewinn lauert. Nun: Der Moderator verbessert durch sein Wissen, wo das Auto steht, die Informationslage für den Wählenden, indem er eine Möglichkeit der Falschwahl aussortiert, die bei der Erstwahl noch bestand. Und wer mehr Informationen besitzt, der hat größere Gewinnchancen.

Deutlich wird dies bei einer Variante der Savant-Fernsehshow. Gerhard Keller aus Berlin spielt nicht mit drei, sondern mit hundert Türen. Die Kandidatin sucht sich zunächst eine aus und hat dabei eine Gewinnchance von einem Prozent. Der hilfreiche Moderator öffnet dann 98 Ziegentüren. Nur die zuerst gewählte und eine weitere bleiben zu. „Welche Tür wird die Kandidatin jetzt wohl wählen?“ fragt Herr Keller augenzwinkernd.

Dieser Fall zeigt das Prinzip sehr schön: Der Spielleiter sortiert die Nieten aus; da die zuerst gewählte Tür an dem Aussortieren nicht teilnehmen darf – eine Öffnung würde ja das Spiel sinnlos machen und verraten, ob der Ersttip richtig oder falsch war –, ändert sich ihre Gewinnchance nicht. Die 99 Prozent Gewinnchance, die auf die übrigen Türen anfangs gleich verteilt waren, konzentrieren sich, je mehr Ziegentüren der Moderator öffnet und damit aus dem Spiel wirft.

Mein Lieblings-Argument kommt von Stefan Sent aus Bonn: „Angenommen, es gibt zwei Kandidaten A und B. A bleibt immer bei der ersten Tür, B wechselt nach der Intervention des Moderators zur verbleibenden dritten Tür. Das Experiment wird 999mal wiederholt.“ Was geschieht? Da A sich vom Moderator nicht beeinflussen läßt, wird er ungefähr 333 Autos gewinnen. „Doch wo bleiben die fehlenden 666 Autos? Sie können nur von B gewonnen worden sein. Somit hat B doppelt so viele Autos wie A gewonnen, also ist hinter der verbleibenden Tür tatsächlich mit doppelter Wahrscheinlichkeit ein Auto anzutreffen.“

Der Denkfehler, dem die Savant-Gegner aufsitzen, beruht auf der impliziten Annahme, daß es sich um zwei voneinander unabhängige Wahlmöglichkeiten beim Erst- und Zweittip handele: Neue Wahl, neues Glück, deshalb sei bei zwei verschlossenen Türen die Chance fifty-fifty, das Auto zu gewinnen. Dies träfe jedoch nur dann zu, wenn der Moderator nach dem Preisgeben seiner Teilinformationen auch das Auto wieder nach dem Zufallsprinzip hinter den verschlossenen Türen verschieben würde. Nur dann ergäbe sich eine Gleichverteilung der Gewinnchancen auf diese Türen. Aber von einer Verschiebung des Autos war nicht die Rede.

Zwei Leser haben Computerprogramme ersonnen, die das Spiel simulieren. Die Programme, zehntausendmal und mehr durchgespielt, bestätigen Marilyn vos Savant. „Wenden Sie sich mal an Ihren Redaktionskollegen Zweistein“, riet ein Leser, um mich auf den rechten Pfad zu bringen. Zweistein hat ein Programm in Quick-Basic geschrieben, das zu denselben Ergebnissen kommt; wer es haben möchte, erhält es auf Anfrage (bitte adressierten und frankierten Briefumschlag beifügen) von der Redaktion. Gero von Randow

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