Chaos hilf!

Wird dank der Quantenphysik die Riemannsche Vermutung endlich bewiesen?

Mathematische Logik mutet Normalsterblichen oft seltsam an. Als der englische Mathematiker Godfrey H. Hardy vor einer stürmischen Schiffsreise glaubte, den Beweis der Riemannschen Vermutung gefunden zu haben, war ihm das ein Zeichen, dass ihm bei der riskanten Überfahrt nichts zustoßen könne. Denn käme er im Sturm auf See um, so folgerte Hardy, würde er posthum dafür gefeiert, das berühmteste mathematische Problem geknackt zu haben, und das würde Gott nicht zulassen. Tatsächlich überlebte der britische Mathematiker die Überfahrt - das Geheimnis der Riemannschen Vermutung allerdings auch.

Bis heute ist dieses mathematische Rätsel ungelöst. Unzähligen Versuchen war es nicht vergönnt, die Vermutung von Bernhard Riemann aus dem Jahr 1859 schlüssig zu beweisen. Seit einem halben Jahr ist sogar ein Preisgeld des Clay Mathematics Institute von einer Million Dollar auf den Beweis ausgesetzt (ZEIT Nr. 22/00). Nun mehren sich die Zeichen, dass bald jemand das Geld einstreichen kann. "Ich habe das Gefühl, das Problem wird in den nächsten Jahren geknackt", urteilt Michael Berry von der Universität Bristol. Gelingen soll dies mithilfe der Theorie des so genannten "Quantenchaos", einer avantgardistischen Kombination von Quantenmechanik und Chaostheorie.

Vordergründig geht es bei der berühmten Vermutung um die Nullstellen einer bestimmten Funktion, der so genannten Zeta-Funktion. Berühmt wurde sie jedoch, weil sie etwas über die Verteilung der Primzahlen verrät, jener Zahlen also, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Diese Primzahlen sind sozusagen die Atome des Zahlensystems: Jede ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Schon Euklid bewies vor rund 2300 Jahren, dass es unendlich viele dieser "Zahl-Bausteine" gibt. Eine Verteilungskarte für Primzahlen kann indes bis heute niemand aufstellen. Sie tauchen vielmehr unvorhersehbar auf dem Zahlenstrahl auf. Ob eine Zahl eine Primzahl darstellt, ist ihr nicht anzusehen. Um das herauszubekommen, muss man sie auf etwaige Teiler prüfen. Und diese Prüfung artet bei sehr großen Zahlen in Rechenorgien aus, die selbst Supercomputer überfordern können.

Immerhin können Mathematiker die Wahrscheinlichkeit abschätzen, mit der eine Zahl "prim" ist. Von den ersten zehn Zahlen sind noch vier prim (2, 3, 5 und 7). Unter den ersten hundert finden sich 25 Primzahlen, unter den ersten tausend 168. In Prozent ausgedrückt fällt ihr Anteil von 40 über 25 auf 16,8 Prozent. Unter allen Zahlen, die kleiner als eine Milliarde sind, erweisen sich nur noch rund 5 Prozent als prim. Diese Abnahme der Häufigkeiten lässt sich näherungsweise mit einer einfachen Formel beschreiben.

Doch damit geben sich Mathematiker nicht zufrieden. Sie wollen zudem wissen, wie weit das tatsächliche Vorkommen der Primzahlen von den berechneten Häufigkeiten abweicht. Der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann stellte dazu in seiner berühmten, nur acht Seiten langen Abhandlung folgende Vermutung auf: Von den berechneten Häufigkeiten der Primzahlen weicht deren tatsächliche Anzahl genauso oft ab, wie es beim wiederholten Werfen einer Münze zu einem Ungleichgewicht von Wappen und Zahl kommt. Anders ausgedrückt: Laut der Riemannschen Vermutung folgen die Primzahlen in ihrem Auftreten denselben Gesetzen wie Zufallsereignisse.

Seither haben Mathematiker über diese These tonnenweise Papier und Hirnschmalz verbraucht. Unzählige Arbeiten beginnen mit dem Satz: "Wenn die Riemannsche Vermutung richtig ist, dann ..." Andere mühen sich an aufwändigen Beweisen für Theoreme, die sich nahezu von selbst aus der berühmten Vermutung ergeben würden - wäre diese nur endlich selbst bewiesen. Selbstverständlich hat sich die Zunft auch - bewaffnet mit Supercomputern - auf Nullstellenjagd begeben. Die ersten eineinhalb Milliarden Nullstellen der Zeta-Funktion erfüllen den Rechnereien zufolge Riemanns Vermutung. Aber was hilft's? "Die Zahlentheorie wimmelt vor Vermutungen, die plausibel sind und von scheinbar überwältigend vielen Berechnungen belegt, aber dennoch falsch sind", weiß auch Andrew Odlyzko, der wie kein anderer nach den Nullstellen der Zeta-Funktion suchte.

Immerhin führten diese Berechnungen zu der These, die Riemannsche Vermutung tauche auch in der Quantenmechanik auf. Bei einem Nachmittagstee stellten der Mathematiker Hugh Montgomery und der Physiker Freeman Dyson fest, die Abstände zwischen den Nullstellen der Zeta-Funktion sähen genauso aus wie die Abstände zwischen den Energieniveaus in quantenchaotischen Systemen. Was hat es damit auf sich?