Lässt man eine Nadel auf liniertes Papier (oder auf einen Boden mit parallelen Dielenbrettern) fallen, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel eine der Linien kreuzt? Dieser Wert hängt von der Länge der Nadel ab (nennen wir sie l) und von dem Abstand zwischen den Linien (d). Wenn l kleiner als d ist oder gleich groß, die Nadel also höchstens eine Linie trifft, so lautet die Lösung 2*l/p*d. Dabei steht p für die Kreiszahl Pi gleich 3,14159...

Josephe Emile Barbier bewies diese Behauptung vor knapp 150 Jahren, indem er die Sache zunächst scheinbar verkomplizierte: Er ließ Nadeln beliebiger Länge zu, die das Linienmuster also durchaus auch mehrmals kreuzen konnten. Für die Zahl dieser Kreuzungen gibt es dann den aus der Statistik bekannten so genannten Erwartungswert. Dieser ist p1 + 2*p2 + 3*p3 + ..., wobei p1 für die Wahrscheinlichkeit steht, dass die Nadel genau eine Linie trifft, p2 für 2 Linien, p3 für 3 Linien. Außerdem ließ Barbier nicht nur gerade Nadeln zu, sondern auch geknickte und gebogene. Für alle diese Nadeln gilt: Verlängert oder verkürzt man sie um einen gewissen Faktor, so vergrößert oder verkleinert sich der Erwartungswert um denselben Faktor. Ziehen wir eine Nadel etwa auf die doppelte Länge, verdoppelt sich auch ihr Erwartungswert. Und auch wenn man es zuerst nicht glauben möchte: Der Erwartungswert für eine beliebig verbogene Nadel ist derselbe wie für eine gerade Nadel gleicher Länge (man kann sich das vielleicht so verdeutlichen: Ein verknäulter Draht trifft vielleicht seltener überhaupt eine Linie - dafür entstehen dann aber gleich mehrere Kreuzungspunkte auf einmal. Die exakten Beweise finden interessierte Leser im BUCH).

Nun betrachtete Barbier eine ganz spezielle krumme "Nadel": nämlich eine in Gestalt eines Kreises, dessen Durchmesser exakt dem Abstand der Linien entspricht. Egal, wie man diesen Kreis auf den Boden wirft - er wird die Linien in genau zwei Punkten schneiden (siehe Zeichnung). Der Erwartungswert für die Anzahl der Überschneidungen beträgt also exakt 2. Die Länge dieser Spezialnadel ist der Kreisumfang, und der ist p*d. Da der Erwartungswert von der Form des Drahtes unabhängig ist, hat auch eine gerade Nadel der Länge p*d den Erwartungswert 2. Um sie auf die Länge l zu kürzen, müssen wir ihre Länge mit dem Faktor l/p*d malnehmen. Der Erwartungswert schrumpft entsprechend auf 2*l/p*d. Da aber kurze Nadeln (mit l kleiner oder gleich d) die Linien nicht öfter als einmal kreuzen können, stimmt der Erwartungswert mit der Wahrscheinlichkeit für einen Kreuzungspunkt überein. Damit ist der Satz bewiesen.