Harte Zahlen, weiche Tassen

Am Dienstag wurden die höchsten Mathematik-Preise verliehen

Nobelpreisträger sind oft alte Herren mit silbergrauem Haar, die für eine Entdeckung geehrt werden, die mehrere Jahrzehnte zurückliegt. Bei der Fields-Medaille, dem alle vier Jahre verliehenen "Nobelpreis" der Mathematiker, ist das anders: Sie wird traditionsgemäß an Forscher verliehen, die nicht älter als 40 sind. Gerade 36 Jahre alt sind die beiden Preisträger, deren Namen am Dienstag auf dem Weltkongress der Mathematiker in Peking bekannt gegeben wurden - genauso alt wie der Träger des Nevanlinna-Preises für bahnbrechende mathematische Beiträge zur Informatik.

Offenbar lässt sich in der Mathematik schneller als in der Medizin oder in der Wirtschaftswissenschaft einschätzen, welche Resultate epochal sind und welche sich letztlich nur als Fußnote der Wissenschaftsgeschichte erweisen werden. Es ist aber auch eine bekannte Tatsache, dass Mathematiker ihren kreativen Höhepunkt früher erreichen als andere Wissenschaftler. Für ihre komplizierten Denkgebäude ist die volle Spannkraft des Hirns gefordert, und das Stadium der Altersweisheit setzt entsprechend früh ein.

Einer der beiden Fields-Preisträger ist der Franzose Laurent Lafforgue vom Institut des Hautes Études Scientifiques. Geehrt wird er für die Lösung eines Problems, das seine Wurzeln im frühen 19. Jahrhundert hat: 1801 bewies Carl Friedrich Gauß das Gesetz von der Quadratischen Reziprozität. Wenn bei der Teilung einer Primzahl durch eine andere der verbleibende Rest eine Quadratzahl ist (etwa bei der Division von 17 durch 13), dann ist dies auch im umgekehrten Fall (13 durch 17) so - ein durchaus nicht immer so offensichtlicher Zusammenhang.

1967 schrieb der Amerikaner Robert Langlands einen Brief an den berühmten Zahlentheoretiker André Weil, in dem er mehrere solcher überraschenden Zusammenhänge in der Mathematik postulierte. Er erhielt zwar nie eine Antwort von Weil - aber seine Vermutungen wurden unter dem Namen Langlands-Programm eine Aufgabe, an der die Mathematiker bis heute zu knabbern haben. Es geht um erstaunliche Verbindungen zwischen zwei weit auseinander liegenden Gebieten der Mathematik.

Eine Anwendung einer solchen Langlands-Korrespondenz war der Beweis von Fermats letztem Satz durch Andrew Wiles in den 90er Jahren. Lafforgues Verdienst ist der Beweis der Langlands-Korrespondenz nicht für gewöhnliche Zahlen, sondern für so genannte Funktionenkörper. "Je tiefer die Fragen im Verlauf von zwei Jahrhunderten geworden sind, umso schöner ist dieses Thema geworden", sagt Laurent Lafforgue. Die Lösung des allgemeinen zahlentheoretischen Langlands-Problems sei allerdings viel komplizierter als sein Beweis. "Niemand weiß, wie viele Jahrhunderte nötig sein werden, um es zu lösen."

Auch die Arbeit des zweiten Fields-Preisträgers bringt zwei unterschiedliche mathematische Gebiete miteinander in Verbindung. Vladimir Voevodsky, ein mittlerweile am Institute for Advanced Study in Princeton lehrender Russe, beschäftigt sich mit Parallelen zwischen der Topologie und der Algebraischen Geometrie. Die Topologie betrachtet diejenigen Eigenschaften von geometrischen Objekten, die sich nicht ändern, wenn man sie verformt. Ihre Gegenstände sind also gleichsam aus unendlich elastischem Gummi, und ein Verlobungsring ist für sie im Prinzip dasselbe wie eine Tasse mit Henkel - beide haben ein Loch und unterscheiden sich daher von einer Brezel, die zwei oder drei Löcher hat. Über die Eigenschaften dieser unendlich weichen Objekte kann man sehr harte Aussagen machen, zum Beispiel mithilfe der so genannten Kohomologietheorie. Die Objekte der Algebraischen Geometrie dagegen sind als Lösungsmengen von Gleichungen definiert. Auch sie kann man sich als räumliche Gebilde vorstellen, allerdings sind sie völlig "starr", also eher aus Stahl als aus Gummi. Voevodskys Verdienst ist die Entwicklung der Motivischen Kohomologie, mit der sich Aussagen aus der Topologie auf die Algebraische Geometrie übertragen lassen.

Von größerem praktischen Nutzen ist die Arbeit des Nevanlinna-Preisträgers Madhu Sudan vom Massachusetts Institute of Technology (MIT). Der aus dem indischen Madras stammende Forscher hat wichtige Beiträge zu kniffligen Fragen der Informatik geliefert: Etwa bei einem Verfahren, mit dem man lange mathematische Beweise überprüfen kann, indem man nur wenige zufällig herausgegriffene Bits eines Computercodes überprüft. Er zeigte, dass bei vielen rechenaufwändigen Aufgaben (wie dem berühmten Handlungsreisendenproblem) eine Näherungslösung leider nicht "einfacher" zu bestimmen ist als die exakte. Und schließlich leistete er einen wichtigen Beitrag bei der Entwicklung so genannter fehlerkorrigierender Codes: Mit denen werden elektronische Nachrichten so verschlüsselt, dass sie sich auch dann lesen lassen, wenn ein Teil der Bits bei der Übertragung verloren gegangen ist.