jahrhundertfrage Mathe mit LassoSeite 2/2

Das Denken in anderen Dimensionen war den Mathematikern vertraut, seit Bernhard Riemann 1854 die Euklidische Geometrie überwand und zeigte, dass der Raum sich krümmen kann. Auch Einsteins Relativitätstheorie arbeitet mit der Raumkrümmung, und möglicherweise ist unser Universum genau das, was Poincaré zu charakterisieren suchte: eine Art dreidimensionale Oberfläche einer Kugel. Aber Poincaré gelang es nicht, die höherdimensionalen Oberflächen mit der Lasso-Eigenschaft zu beschreiben. Ebendiese Regeln glaubt Perelman nun erfasst zu haben.

Doch der Beweis der Poincaré-Vermutung ist für ihn nur ein Nebenschauplatz, den er in seinem Papier so bescheiden versteckt, dass die Kollegen erst einmal nachfragen mussten. „Bescheiden oder kokett? Das ist hier die Frage“, wundert sich Kreck. Worum es dem Russen eigentlich geht, ist offenbar die „Geometrisierungs-Vermutung“, womit nicht weniger gemeint ist als eine komplette Charakterisierung des dreidimensionalen Raumes.

Dabei geht es – ganz grob – um das Problem, ein geometrisches Ganzes aus Teilen zusammenzusetzen. Das lässt sich an der Erdoberfläche verdeutlichen: Versucht man, einen Globus auf ein Blatt Papier zu bringen, wird die Karte verzerrt. Überträgt man dagegen nur kleine Teile der Weltkarte, sind die Verzerrungen weniger gravierend. Genauso geht die Geometrie vor: Sie gibt nicht dem Ganzen eine Struktur, sondern definiert diese für jedes einzelne Teil. Hat jedes Teil die gleiche Struktur, spricht man von einer Mannigfaltigkeit. Zweidimensionale Mannigfaltigkeiten waren schon im 19. Jahrhundert weitgehend verstanden, aber bereits dreidimensionale erwiesen sich als hochkomplex und vierdimensionale als nicht erfassbar. Dieser Herausforderung will sich Perelman stellen – und nebenbei auch Poincarés Nuss knacken.

Das Problem könnte nur sein, dass der Russe noch nicht alle Details sauber aufgeschrieben hat. Das Clay Institut verlangt aber die Veröffentlichung in einer exzellenten Zeitschrift und danach eine Wartezeit von zwei Jahren, bis alle die Chance hatten, Lücken im Beweis zu finden. Erst danach weiß Grigorij Perelman, ob ihm eine Million winkt. Oder doch wieder die einsame Dachstube.