mathematik

Ziegen wählen statt Schafe zählen

Als ZEIT-Autor Gero von Randow das Ziegenproblem 1991 zum ersten Mal vorstellte, bereitete er zahllosen Lesern schlaflose Nächte. Es folgt ein zweiter Versuch

Deutschland ist eine gespaltene Nation, und das seit gut einem Dutzend Jahren. Das heißt, gespalten ist jener Teil der Nation, der das »Ziegenproblem« kennt. Das Problem besitzt zwei Lösungen, und diese teilen das Publikum in zwei Lager. Zur Rekapitulation: Die Sache trägt sich in einer Spielshow zu. Der Kandidat tritt vor drei verschlossene Türen. Hinter einer wartet sein Gewinn, ein Auto. Die Nieten sind, nun ja, die beiden Ziegen hinter den anderen zwei Türen. Der Kandidat entscheidet sich für eine der Türen – sie wird aber noch nicht geöffnet. Stattdessen öffnet der Conférencier eine andere Tür, hinter der eine Ziege meckert, und nun fragt er: »Bleiben Sie bei ihrer Wahl, oder wollen Sie wechseln?«

Die menschliche Intuition neigt zur Regel »Neues Spiel, neues Glück« und schließt, es bleibe sich gleich, ob der Kandidat wechsle oder nicht: fifty-fifty. Versucht man jedoch, das Problem formal zu analysieren (und die Aufgabe enthält alle dazu notwendigen Informationen), folgt der Schluss: Wechseln ist besser, und zwar mit einer Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln.

Es fällt nicht jedermann leicht, diesen Sieg des mathematischen über das anschauliche Denken zu akzeptieren – eine Schwierigkeit, die Didaktiker zu allerlei Darstellungsweisen des Problems angeregt hat. Eine davon wurde in der ZEIT Nr. 48/04 vorgestellt. Offenbar hat sie didaktische Mängel, denn sie überzeugte viele Leser nicht.

Die Argumentation der Didaktiker operierte mit Bildern dreier Fälle, aus denen aber mehrere Leser mit Leichtigkeit vier Fälle konstruierten und dem Autor vorhielten, daraus ergebe sich eben doch eine 50:50-Chance.

Fall eins. Der Kandidat weist auf Tür A, hinter der eine Ziege steht. Das Auto steht hinter C, der Moderator öffnet B. Hier wäre wechseln richtig.

Fall zwei. Der Kandidat weist auf Tür A, hinter der eine Ziege steht. Das Auto steht hinter B, der Moderator öffnet C. Hier wäre wechseln richtig.

Fall drei. Der Kandidat weist auf Tür A, hinter der das Auto steht. Der Moderator öffnet B. Wechseln wäre schlecht.

Fall vier. Der Kandidat weist auf Tür A, hinter der das Auto steht. Der Moderator öffnet C. Wechseln wäre schlecht.

Also zweimal gut und zweimal schlecht, folglich fifty-fifty? Prüfen wir die Wahrscheinlichkeiten. Vorab ist festzuhalten, dass wir es, nachdem der Spieler gewählt hat, in jedem Szenario mit zwei Ereignissen zu tun haben, deren Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert werden müssen: dem Standort des Autos und der Türenwahl des Moderators. Dann ergibt sich das Folgende:

Fall eins. Lage des Autos: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/3. Wahl der Tür B durch den Moderator: Wahrscheinlichkeit = 1 (er muss sie wählen, denn sonst ergäbe das Ganze keinen Sinn). Kombinierte Wahrscheinlichkeit = 1*1/3 = 1/3.

Fall zwei. Lage des Autos: Wahrscheinlichkeit = 1/3. Wahl der Tür C durch den Moderator: Wahrscheinlichkeit = 1, aus dem gleichen Grund wie im ersten Fall. Kombinierte Wahrscheinlichkeit also wieder: 1/3.

Fall drei: Lage des Autos: Wahrscheinlichkeit = 1/3. Wahl der Tür B durch den Moderator: 1/2, denn er könnte ebenso gut Tür C wählen. Wir haben hier aus der Willkürlichkeit der Türenwahl durch den Moderator eine Zufälligkeit gemacht, was nur dann zu bemängeln wäre, wenn jemand das Ziegenproblem durch eine Modellierung des Moderatorenverhaltens ergänzen wollte. Was nicht der Fall ist – also durften wir annehmen, die Gleichgültigkeit seiner Türenwahl ergäbe eine Fifty-fifty-Chance. Dann ist die Gesamtwahrscheinlichkeit = 1/6.

Fall vier: Wie Fall drei, also 1/6.

Addieren wir die Wahrscheinlichkeiten der Fälle, in denen wechseln besser ist, dann ergibt sich der Wert von 2/3.

Auch das wird manchen nicht einleuchten. Da zeigen sich die Grenzen der Veranschaulichung. In solchen schweren Fällen helfen nur zwei Medikamente – oder, noch besser, ein Kombinationspräparat aus beiden. Die eine Medizin ist die mathematische Analyse, zu finden in: Gero von Randow, Das Ziegenproblem (Neuauflage 2004). Die zweite ist, die Show ganz oft nachzuspielen. Ich habe das einmal in einem Mathematikunterricht beobachtet. Hier wurde die Intuition empirisch erschüttert, was den Geist für die mathematische Betrachtungsweise frei machte. Die Kombination beider Methoden ist denen zu empfehlen, die ein (simples) Computerprogramm schreiben können. Es zu verfassen heißt, das Problem zu modellieren – sehr lehrreich. Die hunderttausendfachen, millionenfachen Testläufe danach bestätigen dann nur noch, worauf man beim Programmieren kam: Wechseln ist, wie so oft im Leben, die bessere Strategie.