Mathematik Ziegen wählen statt Schafe zählenSeite 2/2

Also zweimal gut und zweimal schlecht, folglich fifty-fifty? Prüfen wir die Wahrscheinlichkeiten. Vorab ist festzuhalten, dass wir es, nachdem der Spieler gewählt hat, in jedem Szenario mit zwei Ereignissen zu tun haben, deren Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert werden müssen: dem Standort des Autos und der Türenwahl des Moderators. Dann ergibt sich das Folgende:

Fall eins. Lage des Autos: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 1/3. Wahl der Tür B durch den Moderator: Wahrscheinlichkeit = 1 (er muss sie wählen, denn sonst ergäbe das Ganze keinen Sinn). Kombinierte Wahrscheinlichkeit = 1*1/3 = 1/3.

Fall zwei. Lage des Autos: Wahrscheinlichkeit = 1/3. Wahl der Tür C durch den Moderator: Wahrscheinlichkeit = 1, aus dem gleichen Grund wie im ersten Fall. Kombinierte Wahrscheinlichkeit also wieder: 1/3.

Fall drei: Lage des Autos: Wahrscheinlichkeit = 1/3. Wahl der Tür B durch den Moderator: 1/2, denn er könnte ebenso gut Tür C wählen. Wir haben hier aus der Willkürlichkeit der Türenwahl durch den Moderator eine Zufälligkeit gemacht, was nur dann zu bemängeln wäre, wenn jemand das Ziegenproblem durch eine Modellierung des Moderatorenverhaltens ergänzen wollte. Was nicht der Fall ist – also durften wir annehmen, die Gleichgültigkeit seiner Türenwahl ergäbe eine Fifty-fifty-Chance. Dann ist die Gesamtwahrscheinlichkeit = 1/6.

Fall vier: Wie Fall drei, also 1/6.

Addieren wir die Wahrscheinlichkeiten der Fälle, in denen wechseln besser ist, dann ergibt sich der Wert von 2/3.

Auch das wird manchen nicht einleuchten. Da zeigen sich die Grenzen der Veranschaulichung. In solchen schweren Fällen helfen nur zwei Medikamente – oder, noch besser, ein Kombinationspräparat aus beiden. Die eine Medizin ist die mathematische Analyse, zu finden in: Gero von Randow, Das Ziegenproblem (Neuauflage 2004). Die zweite ist, die Show ganz oft nachzuspielen. Ich habe das einmal in einem Mathematikunterricht beobachtet. Hier wurde die Intuition empirisch erschüttert, was den Geist für die mathematische Betrachtungsweise frei machte. Die Kombination beider Methoden ist denen zu empfehlen, die ein (simples) Computerprogramm schreiben können. Es zu verfassen heißt, das Problem zu modellieren – sehr lehrreich. Die hunderttausendfachen, millionenfachen Testläufe danach bestätigen dann nur noch, worauf man beim Programmieren kam: Wechseln ist, wie so oft im Leben, die bessere Strategie.