Alles war infrage gestellt in Wien zwischen den beiden Kriegen des vergangenen Jahrhunderts. Revolutionäre Arbeiter wollten den Kapitalismus beseitigen, Faschisten rotteten sich zusammen, und Karl Kraus sah die herannahende Katastrophe voraus. Psychoanalyse und Okkultismus erschütterten die Seelen, Zwölfton und Dada zerbrachen das Schöne. Und es hatte sich der berühmte »Wiener Kreis« zusammengefunden, ein Klub von Wissenschaftlern, der in der Philosophie das formenstrenge Schließen an die Stelle der »Wortmusik« setzen wollte.

Zu diesem Kreis zählte der junge Mathematiker Kurt Gödel, geboren am 28. April 1906 im österreich-ungarischen Brünn. Sein Thema war kein geringeres als die Grenzen des Denkens, und für das mathematische Denken konnte er unübersteigbare Hindernisse nachweisen. Ausgerechnet für die Mathematik, deren Heroen damals vorhatten, ihre Wissenschaft vollständig durchzukonstruieren, alles nur mittels einer kleinen Menge von Grundannahmen (Axiomen) und Schlussregeln.

Gödel wies ihnen nach: Das klappt nie und nimmer. Sowohl sein Ergebnis als auch der Dreh, mit dem er es gewann, inspiriert Mathematiker und Philosophen bis heute; sie sind auch die Seele des Kultbuchs Gödel, Escher, Bach. Das Ergebnis ist ein doppeltes. Nämlich erstens: In der Sprache eines formalen Systems (nennen wir es S), mit der sich Sätze bilden lassen und das sowohl widerspruchsfrei als auch einigermaßen komplex ist, können solche Sätze formuliert werden, die sich mit den Mitteln von S weder beweisen noch widerlegen lassen. Falls diese Sätze mit den Mitteln eines anderen formalen Systems bewiesen werden können, dann kommt es noch schlimmer: Sie sind wahre Aussagen in S, aber innerhalb von S nicht herzuleiten. Das ist Gödels erster »Unvollständigkeitssatz«; unvollständig ist in diesem Fall das System S. Der zweite Unvollständigkeitssatz: Es gibt widerspruchsfreie formale Systeme, die ihre eigene Widerspruchsfreiheit nicht selbst beweisen können.

Und warum ist das alles interessant? Unter anderem, weil daraus folgt, dass es niemals ein mathematisches System geben wird, das alle mathematischen Sätze beweisen kann. Es wird also auch nie einen Computer geben, der alle Mathematik beweisen kann, und mehr noch: Es wird nie eine Software geben, die die Fehlerlosigkeit beliebiger Programme beweisen kann, da helfen alle Milliarden von Bill Gates nichts.

Diese Behauptungen hat Gödel bewiesen. Den Kern seines Beweises bildet ein Trick, der hier nur angedeutet werden kann. Formale Systeme (auch »Kalküle« genannt) lassen sich verstehen als Gebilde, die aus Zeichen sowie aus Regeln bestehen, die diese Zeichen miteinander zu Aussagen kombinieren. Gödel fand eine Methode, in sämtlichen Systemen Aussagen vom Typ »Diese Aussage lässt sich nicht herleiten« zu bilden. Eine Aussage, die weder bewiesen noch widerlegt werden kann.

Eine solche logische Bombe ist in jedem formalen System enthalten, das nicht trivial ist. Diese prinzipielle Unvollständigkeit aller mathematischen Kalküle hat hin und wieder mathematikfremde Philosophen dazu verleitet, sich über die Begrenztheit der formalisierten Wissenschaften zu mokieren. Ihnen entging freilich, dass Gödel ebenso gut bewiesen hat, dass zu jedem System S, das unbeweisbare Sätze enthält, ein System S entworfen werden kann, das eben diese Sätze beweist. Nur eben, dass auch S wiederum Bomben enthält, und ad infinitum. Mag dies Begrenztheit nennen, wer will.

Um die Rezeption Gödels rankt sich allerlei Esoterik, dieses Schicksal teilt sein Werk mit dem von Max Planck, dem Vater der Quantenphysik. Und wie Planck hat auch Gödel zu dieser Wirkung beigetragen, denn außerhalb der Mathematik war er, nun ja, ein Spökenkieker, der an Telepathie und Geister glaubte. In Princeton, wohin er vor den Nazis geflohen war, starb er 1978 in geistiger Umnachtung. Als er noch ein kleiner Junge war, hatte man ihn »den Herrn Warum« genannt.