Mathematik Das rechnende Tier
Kurt Gödel, vor 100 Jahren geboren, zeigte der Mathematik eine logische Grenze auf. Jetzt droht ihr auch eine biologische: Einige Beweise könnten zu komplex sein für das menschliche Hirn
Mathematik, so lautet die gängige Meinung, beruht im Gegensatz zu den Naturwissenschaften nicht auf Erfahrung, sondern auf reiner Logik. Aus einer überschaubaren Menge von Grundannahmen, so genannten Axiomen, finden die Mathematiker durch die Anwendung logischer Schlussregeln zu immer neuen Erkenntnissen, dringen immer tiefer ins Reich der mathematischen Wahrheit vor. Die menschliche Subjektivität (der Geisteswissenschaft) und die schmutzige Realität (der Naturwissenschaft) bleiben außen vor. Es gibt nichts Wahreres als die Mathematik, und vermittelt wird uns diese Wahrheit durch den Beweis. So ein Beweis ist zwar von Menschen gemacht, und es erfordert Inspiration und Kreativität, ihn zu finden, aber wenn er einmal dasteht, ist er unumstößlich. Allenfalls kann er durch einen einfacheren oder eleganteren ersetzt werden.
Dass diese Sicht naiv ist, kann jeder Laie feststellen, der einmal in ein mathematisches Lehrbuch schaut. Erstaunlicherweise sind nämlich die meisten Beweise keine Abfolge von Formeln, sondern sie sind in ganzen Sätzen abgefasst, einige davon lauten »Wie man leicht sieht, gilt…«, »Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass…«. Es wimmelt nur so von Andeutungen, stillschweigenden Voraussetzungen und Appellen an den gesunden Menschenverstand. Was als Beweis akzeptiert wird und was nicht, ist eine soziale Konvention der mathematischen Community.
Anzeige
Und es mehren sich die Zeichen, dass dieser wissenschaftlichen Gemeinschaft der Begriff des Beweises überhaupt entgleiten könnte. Es gibt immer mehr Fälle, in denen der einzelne Mathematiker nicht mehr guten Gewissens behaupten kann, er habe den Beweis Schritt für Schritt nachvollzogen. Muss die Mathematik sich bald von der Idee des rigorosen Beweises verabschieden? Sind manche Dinge einfach zu komplex, als dass sie ein Mensch noch wirklich verstehen könnte? Mit solchen Vorstellungen kratzte im vergangenen November der britische Mathematiker Brian Davies am Selbstverständnis der Zunft (Whither Mathematics? Notices of the AMS, Bd. 52, Nr. 11, S.1350ff.).
Computer können zeigen, dass etwas wahr ist - aber nicht warum
Im vergangenen Jahrhundert, schreibt Davies, durchlebte die Mathematik zwei schwere Krisen. Die eine wurde durch Kurt Gödel heraufbeschworen. Dessen Nachweis, dass es in hinreichend komplexen Theorien immer unentscheidbare Sätze gibt, die weder beweis- noch widerlegbar sind, war für die meisten Mathematiker eine logische Spitzfindigkeit, obwohl Beispiele für unentscheidbare Sätze gefunden wurden. »Die meisten Mathematiker betreiben ihr Geschäft so, als hätte es Gödel nie gegeben«, sagt Davies.
Die zweite Erschütterung kam im Jahr 1976. Da bewiesen Kenneth Appel und Wolfgang Haken den so genannten Vier-Farben-Satz. Dessen Aussage versteht auch der Laie: Man kann jede Landkarte in der Ebene oder auf dem Globus mit höchstens vier Farben so kolorieren, dass nirgends zwei Länder mit derselben Farbe aneinander grenzen. Nachdem sich die Forscher jahrzehntelang die Zähne an dem Beweis dieses Satzes ausgebissen hatten, lösten die beiden Mathematiker das Problem sozusagen mit der Brechstange: Sie reduzierten es auf eine große Zahl von Spezialfällen, die sie dann per Computer überprüften. Die Maschine bestätigte: In allen Fällen reichen vier Farben – fertig war der Beweis.
Viele Mathematiker fühlten sich nicht wohl bei diesem Beweis. Erstens trauten sie der Maschine nicht so ganz über den Weg. Tat das Programm wirklich, was seine Programmierer behaupteten? Und selbst wenn – es könnten ja immer noch spontane Rechenfehler auftreten. Zum Beispiel ein »kosmischer Strahl«, der ins Rechenwerk fährt und unbemerkt eine Null zu einer Eins verdreht.
Inzwischen ist der Rechenknecht als Beweis-Hilfskraft weitgehend akzeptiert, auch wenn jeder Mathematiker einen nachvollziehbaren, eleganten »logischen« Beweis dem sturen Computerbeweis vorzieht. Schon allein weil ein guter Beweis nicht nur zeigt, dass etwas wahr ist, sondern auch wieso.
Anzeige
- Datum 17.05.2006 - 03:45 Uhr
- Seite 1 | 2 | 3 | Auf einer Seite lesen
- Quelle DIE ZEIT, 27.04.2006
- Kommentare 14
- Versenden E-Mail verschicken
- Empfehlen Facebook, Twitter, Google+
- Artikel Drucken Druckversion | PDF
-
Artikel-Tools präsentiert von:
Der Leser ZoeckelA nimmt offenbar an, daß mehr Logik und
mechanische Nachprüfbarkeit zu einer elitäreren Mathematik
führen wird, die sich letztlich selbst ad-absurdum führt.
Ich glaube eher das Gegenteil. Formale Beweise kann man
sich - im Gegensatz zu handgeschriebenen internen Berichten
oder Tafelaufschrieben - aus dem Netz herunterholen, sie
Schritt für Schritt durchspielen, und sich die notwendigen
Anschauungen erarbeiten, und das Ganze evtl. auch abändern.
(siehe etwa: [ Wir können leider nicht alle Verweise auf andere Internetseiten prüfen. Bitte haben Sie Verständnis, dass Links gelöscht werden. gez. Die Redaktion ])
Das braucht ein gewisses technisches Geschick und Fleiß,
wie bei anderen Opensource-Projekten auch.
Aber es braucht eben nicht ein abgeschlossenes Studium, ein
"Hineinwachsen" in die Anschauungswelt einer Scientific Community, usw. usw., um wissenschaftliche Arbeiten akzeptiert zu bekommen.
Ich bin beruflich in vielen Peer-review-Prozessen involviert und kann die etwas anthropozentrische Romantik, die einige Philosophen und auch Teilnehmer dieser Leserbriefrunde daran finden, schlicht nicht nachvollziehen. Wenn ich ehrlich bin: wenn's mal wieder so richtig menschelt, bin ich öfter von der Praxis einfach nur angeekelt.
Wieso sollte ausgerechnet die Mathematik vom (gesellschaftlichen) Phänomen der Segregation verschont bleiben?
Des permanente Höher, schneller, weiter! in unserer Gesellschaft verursacht allenthalben mindestens zwei Kollatteralschäden. Der erste besteht darin, dass die Wettbewerbssieger schlussendlich unter sich sind (und bleiben), weil ihnen kaum noch jemand (zu) folgen (ver-)mag schöne Grüße von hier aus an ilabernet und Dr. Wolff. Der zweite basiert auf dem soeben genanten Umstand und wird im vorliegenden Beitrag beschrieben: An der jeweiligen Grenze wirds imaginär und unkontrollierbar. Nicht schön, aber unter der beschriebenen Prämisse wohl kaum zu ändern.
So ist er nun einmal, der Mensch, und so wird er bleiben. Beweisen kann ich diese These zwar nicht (bin schließlich kein Mathematiker), aber: Was wollen wir wetten?
Die zunehmend schwierige Beweislage ist sicher ein Problem für die Zunft der Mathematiker. Aber hat das Auswirkungen auf den Fortgang der Erkenntnis in Wissenschaften, die die Mathematik als Hilfswissenschaft benötigen?
Vielleicht kann die Konsequenz dieses Problems jemand vom Fach einmal einen Mathematiklaien erklären?
Tippfehler: das Monster hat 808017424794512875886459904961710757005754368000000000
Elemente, also etwa 10^54, und nicht nur 1054.
Die Anzahl der Elemente (Maechtigkeit) des Monsters ist natuerlich ungefaehr 10E54 und nicht 1054. Die genaue Maechtigkeit dieser Gruppe kann hier nachgelesen werden:
http://mathworld.wolfram....
Schon Wittgenstein hat von einem Beweis gefordert,daß er übersichtlich sein solle. Übersichtlich in dem Sinne, daß der Mathematiker ihn in seiner Gänze erfassen kann (was auch immer das heißen mag).
Daß ein Beweis Lücken haben oder sogar falsch sein kann, ist nun beim besten Willen auch nicht neu. Wahrscheinlich hat jeder Mathematiker (es gibt sehr berühmte Beispiele) einmal einen fehlerhaften Beweis vorgelegt. Dies lag dann meistens daran, dass Begriffe verwendet wurden, die nicht exakt genug definiert waren, oder in ihrer Bedeutung unklar waren. Die Logik und Mengenlehre des frühen 20. Jahrhunderts hat gerade versucht diese Unklarheiten zu beseitigen. Ein Ansatz (der wirkungsmächtigste) war der einer vollkommenen Durchformalisierung der Mathematik. Ziel war es nicht den Mathematiker auf Formalisierung zu trimmen, sondern ihm eine gewisse Grundlagensicherheit in Bezug auf seine Arbeiten zu geben. Man kann Beweise der Gruppentheorie, formal aufschreiben. Doch diese sind dann gerade nicht mehr überschaubar. Die meisten Mathematiker gehen (wenn sie überhaupt darüber nachdenken) davon aus, dass sich jeder Beweis wahrscheinlich formalisieren läßt. Das sie es nicht tun eröffnet die Möglichkeit von Irrtümern. An dieser Stelle können Computer tatsächlich Abhilfe schaffen. Jedoch werden sie (das ist meine Überzeugung), in naher Zukunft keinen interessanten mathematischen Satz finden. Denn das ist der entscheidende Unterschied: Die Frage nach dem Beweis ist meines Erachtens zweitrangig. Viel wichtiger ist die Formulierung von Definitionen und vor allen Dingen Sätzen. Unbewiesene Vermutungen sind immer noch (siehe Preisgelder) die größte Antriebsfeder innerhalb der Mathematik. Diese Sätze zu formulieren erfordert Einsicht oder auch ein gewisses Maß an Intuition. Das kann (noch) kein Computer. Der Beweis des Vier-Farben-Satzes ist ja nicht alleine die Leistung eines Computers. Der Nachweis, dass sich das Problem in genau so und so viele Teilprobleme aufsplitten läßt ist ja vermutlich (ich weiß es nicht) von Menschenhand gemacht worden. Der Computer hat an dieser Stelle nur die "Drecksarbeit" übernommen. So wie ich das sehe, würde ich einen Beweis tausendmal lieber einem Computer anvertrauen als einem Menschen. Die Forderung nach Übersichtlichkeit, hat nämlich nur einen Zweck: Sie soll garantieren, daß keine Fehler gemacht werden. An dieser Stelle ist Mathematik wie jede Wissenschaft auf Reproduzierbarkeit bedacht. Jede Veröffentlichung in mathematischen Zeitschriften wird ja von mehreren Gutachtern durchgelesen, gerade weil man sich auf den menschlichen Kopf nicht verlassen kann. Das selbe Prinzip macht einen Beweis durch Computer legitim. Er ist wiederholbar und damit "sicher". Was vor allen Dingen verwirrend ist, ist die Vorstellung von der Mathematik als purer Logik. Um Gottes Willen, gerade das ist sie nicht. Sie ist zu einem gut Teil Konvention. Jedweder Platonismus ist an dieser Stelle eine bequeme Ausrede, weil er einem ein Gefühl von Sicherheit verschafft, das so nicht existiert.
Ein kurioser Artikel, der versucht, ein zugegebenermassen schwieriges Grundlagengebiet der Mathematik durch eine Mischung von launigen Kommentaren ("Rechenknecht") und
Oberfl"achlichkeiten f"ur das breite Publikum verdaulich zu machen.
Der Idee, mathematische Beweise auf formalisierte Argumentationen ("formale Beweise") zur"uckzuf"uhren, die
von der wichtigen, aber oft tr"ugerischen Intuition unabh"angig sind, ist ein uralter Menschheitstraum. Er reicht von Aristoteles "uber Leipnitz bis eben zu Forschern wie Hales. Informelle Beweise oder Lehrbuchtexte sind zur Kommunikation nicht "uberfl"ussig, aber wenn man "uber Details streitet, sind formale Beweise eben die Referenzgr"o"sse. Wenn die "g"angige Meinung" das tats"achlich wei"ss, f"ande ich das gro"ssartig und keinesfalls "naiv".
Nun ist es richtig, dass der Begriff der formalen Beweisbarkeit prinzipielle Grenzen hat. Siehe Goedel.
Weiterhin ist richtig, das vollst"andig formale Beweise
aufw"andig und aus praktischen Gr"unden oft undurchf"uhrbar sind. Siehe Monsterbeweise.
Zudem ist richtig, das das Know-how "uber Logik unter
Mathematikern in den letzten Jahrzehnten teilweise abgenommen hat (man kann renommierten Mathematikprofessoren begegnen, die einen Beweis nicht formal aufschreiben, nur verstehen k"onnen; ins Bild passt auch, da"ss ber"uhmte Logiklehrst"uhle in Deutschland zur Zeit nicht wieder von
Logikern, sondern von angewandten Mathematikern wiederbesetzt werden).
Ob diese Schwierigkeiten tats"achlich zu "Krisen" in
"der Mathematik" oder auch nur im mathematischen Forschungsbetrieb gef"uhrt haben, wie Filosofen oft und gern behaupten, sei einmal dahingestellt.
Die Fakten sehen anders aus: Mir ist kein
praktisch relevantes Beweisprojekt bekannt, das
an der Unvollst"andigkeit eines Kalk"uls gescheitert w"are.
Die schiere Gr"osse von formalen Beweisen und Beweisarchitekturen zeugt von der Notwendigkeit der
Zusammenarbeit von Forschungscommunities, ja, aber gerade die m"oglich gewordene Konsistenzpr"ufung durch Computer kann hier einen entscheidenden Unterschied machen (auf
diese Weise hat man immerhin das Problem der menschlichen DNA-Entschl"usselung geknackt). Der R"uckgang der Logik in der Mathematik kann auch etwas mit der historischen Zerschlagung von Zentren wie G"ottingen und einer praktisch motivierten Neuansiedlung der Logik in der Informatik zu tun haben.
Ein Wort noch zu "dem Computer" und dem "Computerbeweis".
Hier geht's in dem Artikel mangels Unterscheidungssch"arfe ziemlich durcheinander. Der Computer wird einesteils genutzt, um Probleme zu enumerieren und zu checken.
Sowohl gegen die algorithmische Seite (werden tats"achlich alle Probleme aufgez"ahlt?) als auch die Implementierungsseite (macht das kryptische Programm in einer kryptischen Programmiersprache wie C wirklich das, was es soll?) hat es berechtigte Kritik an dem urspr"unglichen Appel/Haken "Computerbeweis" gegeben. Und eine notwendige Methodendiskussion. Aber eine "Krise" ist das eben nicht. Zum anderen wird der Computer verwendet, um nachzupr"ufen, ob in einem formalen Beweis jeder einzelne Beweisschritt "stimmt", also einer Anwendung einer Regel des zugrundegelegten Kalk"uls entspricht.
Zweifel gegen solche Nachpr"ufungen, die routinem"a"ssig auf verschiedenen Rechnern immer wieder mit der Pr"azision eines physikalischen Experiments wiederholt werden k"onnen, sind eher hypothetischer Natur. Inzwischen hat Georges Gonthier einen Beweis f"ur das Vier-Farben-Problem in letzterem Sinn vorgelegt, und Hales Monsterbeweis ist inzwischen auch ueber
weite Teile mit Systemen wie HOL-light oder Isabelle
gepr"uft worden.
Zusammenfassend m"ochte ich sagen: Ich sehe durchaus so etwas wie eine Kulturrevolution am Horizont "der Mathematik", sei es in Hinblick auf die R"uckbesinnung auf Grundlagen in ihrem Selbstverst"andnis
oder sei es durch den verst"arkten Einsatz von Computern im mathematischen Forschungsbetrieb.
Einen popul"arwissenschaftlichen Artikel, der diese spannende Entwicklung allgemeinverst"andlich aufarbeitet, habe ich noch nicht gesehen. Auch nicht in "Der Zeit".
Dr. Burkhart Wolff
ETH Z"urich
Da die Logik ja nun am (bitteren) Ende angekommen ist, sollten wir uns beim Raumschiff- und Brückenbau mehr auf unser ~*Gefüüüüüüühl*~ verlassen. Ein neues Zeitalter wird anbrechen. Und Mathe ist ja sowieso doof.
Bitte melden Sie sich an, um zu kommentieren