Mathematik Das rechnende Tier

Kurt Gödel, vor 100 Jahren geboren, zeigte der Mathematik eine logische Grenze auf. Jetzt droht ihr auch eine biologische: Einige Beweise könnten zu komplex sein für das menschliche Hirn

Mathematik, so lautet die gängige Meinung, beruht im Gegensatz zu den Naturwissenschaften nicht auf Erfahrung, sondern auf reiner Logik. Aus einer überschaubaren Menge von Grundannahmen, so genannten Axiomen, finden die Mathematiker durch die Anwendung logischer Schlussregeln zu immer neuen Erkenntnissen, dringen immer tiefer ins Reich der mathematischen Wahrheit vor. Die menschliche Subjektivität (der Geisteswissenschaft) und die schmutzige Realität (der Naturwissenschaft) bleiben außen vor. Es gibt nichts Wahreres als die Mathematik, und vermittelt wird uns diese Wahrheit durch den Beweis. So ein Beweis ist zwar von Menschen gemacht, und es erfordert Inspiration und Kreativität, ihn zu finden, aber wenn er einmal dasteht, ist er unumstößlich. Allenfalls kann er durch einen einfacheren oder eleganteren ersetzt werden.

Dass diese Sicht naiv ist, kann jeder Laie feststellen, der einmal in ein mathematisches Lehrbuch schaut. Erstaunlicherweise sind nämlich die meisten Beweise keine Abfolge von Formeln, sondern sie sind in ganzen Sätzen abgefasst, einige davon lauten »Wie man leicht sieht, gilt…«, »Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass…«. Es wimmelt nur so von Andeutungen, stillschweigenden Voraussetzungen und Appellen an den gesunden Menschenverstand. Was als Beweis akzeptiert wird und was nicht, ist eine soziale Konvention der mathematischen Community.

Und es mehren sich die Zeichen, dass dieser wissenschaftlichen Gemeinschaft der Begriff des Beweises überhaupt entgleiten könnte. Es gibt immer mehr Fälle, in denen der einzelne Mathematiker nicht mehr guten Gewissens behaupten kann, er habe den Beweis Schritt für Schritt nachvollzogen. Muss die Mathematik sich bald von der Idee des rigorosen Beweises verabschieden? Sind manche Dinge einfach zu komplex, als dass sie ein Mensch noch wirklich verstehen könnte? Mit solchen Vorstellungen kratzte im vergangenen November der britische Mathematiker Brian Davies am Selbstverständnis der Zunft (Whither Mathematics? Notices of the AMS, Bd. 52, Nr. 11, S.1350ff.).

Computer können zeigen, dass etwas wahr ist - aber nicht warum

Im vergangenen Jahrhundert, schreibt Davies, durchlebte die Mathematik zwei schwere Krisen. Die eine wurde durch Kurt Gödel heraufbeschworen. Dessen Nachweis, dass es in hinreichend komplexen Theorien immer unentscheidbare Sätze gibt, die weder beweis- noch widerlegbar sind, war für die meisten Mathematiker eine logische Spitzfindigkeit, obwohl Beispiele für unentscheidbare Sätze gefunden wurden. »Die meisten Mathematiker betreiben ihr Geschäft so, als hätte es Gödel nie gegeben«, sagt Davies.

Die zweite Erschütterung kam im Jahr 1976. Da bewiesen Kenneth Appel und Wolfgang Haken den so genannten Vier-Farben-Satz. Dessen Aussage versteht auch der Laie: Man kann jede Landkarte in der Ebene oder auf dem Globus mit höchstens vier Farben so kolorieren, dass nirgends zwei Länder mit derselben Farbe aneinander grenzen. Nachdem sich die Forscher jahrzehntelang die Zähne an dem Beweis dieses Satzes ausgebissen hatten, lösten die beiden Mathematiker das Problem sozusagen mit der Brechstange: Sie reduzierten es auf eine große Zahl von Spezialfällen, die sie dann per Computer überprüften. Die Maschine bestätigte: In allen Fällen reichen vier Farben – fertig war der Beweis.

Viele Mathematiker fühlten sich nicht wohl bei diesem Beweis. Erstens trauten sie der Maschine nicht so ganz über den Weg. Tat das Programm wirklich, was seine Programmierer behaupteten? Und selbst wenn – es könnten ja immer noch spontane Rechenfehler auftreten. Zum Beispiel ein »kosmischer Strahl«, der ins Rechenwerk fährt und unbemerkt eine Null zu einer Eins verdreht.

Inzwischen ist der Rechenknecht als Beweis-Hilfskraft weitgehend akzeptiert, auch wenn jeder Mathematiker einen nachvollziehbaren, eleganten »logischen« Beweis dem sturen Computerbeweis vorzieht. Schon allein weil ein guter Beweis nicht nur zeigt, dass etwas wahr ist, sondern auch wieso.

Nun aber, sagt Davies, kommt eine dritte große Krise auf die Mathematik zu – beziehungsweise wir befinden uns schon mittendrin. Es gibt zunehmend Beispiele von einfach zu formulierenden Sätzen, deren Beweise sich so schwierig gestalten, dass weder einzelne Mathematiker noch die Gemeinschaft mit Sicherheit sagen können, ob der Nachweis nun erbracht ist oder nicht. Das wichtigste Beispiel, das Davies anführt, ist der Fall der so genannten endlichen einfachen Gruppen.

Gruppen sind sehr grundlegende Strukturen in der Algebra. Im Wesentlichen sind es Mengen, auf denen eine Rechenoperation definiert ist, wie die Addition bei den ganzen Zahlen. Endliche Gruppen haben im Gegensatz zu unseren Zahlenmengen nur endlich viele Elemente, und so wie in der Zahlenwelt die Primzahlen in einem gewissen Sinne am »einfachsten« sind, so gibt es auch die einfachen Gruppen. Diese Grundbausteine vollständig aufzuzählen war ein wichtiges Projekt in den siebziger Jahren. Hundertschaften von Mathematikern arbeiteten daran und identifizierten zuletzt einige Einzelgänger wie das so genannte Monster, ein gewaltiges Gebilde mit knapp 10 ⁵⁴ Elementen. Damit war, so der Konsens, die Liste vollständig und das »erste industrielle Projekt der Reinen Mathematik« (Davies) abgeschlossen.

Nur: Der Beweis für diese Vollständigkeit umfasste etwa 10000 Seiten. Und während sich rund um den Globus die Mathematiker auf das Ergebnis verließen, stellte sich um 1990 heraus: In dem Puzzle klafften Lücken. Stopfte man die eine, tat sich woanders eine neue auf. Dazu kam ein biologisches Problem: Viele der ursprünglich Beteiligten waren bereits pensioniert oder gar verstorben und konnten ihre Gedanken nicht mehr erläutern.

Michael Aschbacher vom California Institute of Technology leitet nun ein Projekt zur Rettung des Gruppen-Beweises. Noch immer gibt es keine vollständige, klare Darstellung des Ergebnisses. »Die Gemeinschaft akzeptiert jetzt, dass es einen Beweis gibt«, sagt Aschbacher. »Das war natürlich schon einmal so, und dann tauchten neue Informationen auf. Also: Soweit wir wissen, gibt es keine Lücken. Aber natürlich wäre ich mit einem sauber aufgeschriebenen Beweis glücklicher.«

Auch Mathematikerkollegen wie Günter Ziegler von der Technischen Universität Berlin sehen die Sache als bewiesen an: »Ich kenne keine ernst zu nehmenden Anzeichen, dass sich da noch eine Gruppe verstecken könnte.« Aber befriedigend ist es nicht gerade, wenn die einst absolut erscheinende Sicherheit ersetzt wird durch eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass sich auch wirklich keiner der Beteiligten geirrt hat.

Die Sache mit den einfachen Gruppen ist nicht der einzige Fall in der modernen Mathematik, in dem eine relativ einfache Aussage einen Beweis erfordert, der kaum noch nachvollziehbar ist:

–Seit 100 Jahren tüfteln Mathematiker an der berühmten Vermutung von Henri Poincaré über Sphären im vierdimensionalen Raum. Seit 2003 gibt es einen »Beweis« des Russen Grigori Perelman, aber dessen Gültigkeit ist umstritten. Erschwert wird das Problem dadurch, dass der kauzige Perelman sich weigert, seine im Internet veröffentlichte Lösung dem Gutachterprozess einer Fachzeitschrift zu unterziehen oder auf Konferenzen zu verteidigen, obwohl eine Million Dollar Preisgeld für die Lösung winkt. Status: offen.

–1998 veröffentlichte Thomas Hales von der University of Pittsburgh einen Beweis für eine Vermutung von Johannes Kepler: dass nämlich die Art, wie Obsthändler Apfelsinen stapeln, tatsächlich die dichteste dreidimensionale Packung von Kugeln ist. Das Werk umfasste 250 Seiten sowie mehrere Gigabyte an Computerdaten. Nach vier Jahren Prüfung waren sich die Gutachter »zu 99Prozent« sicher, dass der Beweis erbracht ist.

Thomas Hales selbst hat nun die Initiative ergriffen, seinen Beweis auf eine solidere Basis zu stellen. Er gehört zu den Verfechtern der »computerverifizierten« Beweise. Dazu müssen menschliche Mathematiker das Werk zunächst völlig formalisieren, also alle sprachlichen Girlanden entfernen und das Formelwerk in einzelne logische Schritte zerlegen, die ein Rechner nachvollziehen kann. Dann überprüft die Software, ob die Schlüsse auch wirklich den Regeln der Logik entsprechen. Mit dieser Methode, glaubt Hales, könnte man auch sehr umfangreiche Beweise angehen. »Es gibt keinen Grund, warum wir uns auf 100 oder auch 10000 Seiten beschränken müssten.« Der einzige Haken bei der Sache: Die gesamte Mathematik auf diese Weise »wasserdicht« zu machen wäre ein fast unüberschaubares Projekt. Heute braucht ein Mathematiker etwa eine Woche, um auch nur eine Seite aus einem traditionell geschriebenen Lehrbuch in computerlesbaren Code zu verwandeln.

Noch werden Computer nur zur Überprüfung menschlicher Beweise eingesetzt. Müssen sie die Lösungen in Zukunft vielleicht auch finden, weil der Mensch an die Grenzen seines Intellekts stößt?

Menschen sind Säugetiere, deren Gehirn die Natur nicht zur Lösung komplizierter mathematischer Probleme entwickelt hat. So wie ein Hund oder ein Pferd einen beschränkten Horizont hat, so gibt es gewiss auch für den menschlichen Geist Grenzen. Der amerikanische Mathematiker Paul Cohen etwa sagt, dass »die große Mehrheit sogar der elementaren Fragen in der Zahlentheorie weit außerhalb des Bereichs unserer Beweisführungen« liege. Brian Davies ist davon überzeugt, dass die Vorstellung, der Mensch würde Schritt für Schritt das unbekannte Land der Mathematik erforschen, verfehlt ist: »Wir gehen nicht systematisch vor und entschlüsseln alle richtigen Sätze – wir suchen uns diejenigen Dinge aus, die überhaupt im Bereich unserer Vorstellungskraft liegen.«

Der Gruppentheoretiker Michael Aschbacher findet, dass Davies das Problem »überdramatisiert«, gibt aber zu: »Es wird immer mehr wichtige Ergebnisse geben, deren Beweis so kompliziert ist, dass wir zumindest für Teile der Antwort eine Maschine brauchen. Das ist sicherlich nicht die klassische Vorstellung von dem, was Mathematik ist.«

Auch Brian Davies würde nicht behaupten, dass der Mathematik die lösbaren Probleme ausgehen würden. Auf allen ihren Gebieten werden täglich neue interessante Dinge erforscht und auch auf eine Art bewiesen, die über jeden Zweifel erhaben ist. Aber in Zukunft werden der Mensch und sogar die Menschheit immer öfter feststellen: Es gibt Probleme in der höheren Mathematik, die für unser Säugerhirn einfach zu hoch sind.

Audio: www.zeit.de/audio