Stellen Sie sich vor, Sie wären eine Ameise, die auf einer Kugeloberfläche lebt. Für das Krabbeltier sieht diese Fläche zunächst einmal so aus wie eine große Ebene, allenfalls kann man sich (wie unsere Vorväter) fragen, ob die Fläche begrenzt ist oder ob sie sich in unendliche Weiten erstreckt. Irgendwann wird vielleicht eine Ameise ähnlichen Mut aufbringen wie der erste Weltumsegler Vasco da Gama und feststellen, dass man nach einer Umrundung der Welt wieder am Ausgangspunkt landet – die Fläche ist endlich, aber randlos. Also schließt man messerscharf: Sie muss eine Kugel sein, oder?

Mathematisch gesehen ist das falsch. Die entsprechende Theorie, die Topologie, sagt nämlich: Es gibt auch noch andere geschlossene Flächen, die sich wesentlich von der Kugel unterscheiden. Da wäre etwa der Torus, die Oberfläche eines Autoreifens, der ein Loch in der Mitte hat; auch eine brezelartige Oberfläche mit zwei Löchern würde eine Ameise als "geschlossen" wahrnehmen.

Wie also könnte der Bewohner einer solchen Fläche herausfinden, auf welcher Sorte er lebt? Die mathematische Antwort: indem er ein unendlich elastisches Gummiband auf alle möglichen Arten um seine Welt spannt. Wenn es in jedem Fall auf einen einzelnen Punkt zusammenschnurrt, lebt man auf einer kugelähnlichen Welt (Abb. 1). Auf Autoreifen und Brezeln kann man dagegen das Gummi immer so spannen, dass es sich nicht zusammenziehen lässt, weil eines der Löcher im Weg ist (Abb. 2, 3).