Logik »Schöne Beweise!«

Ein Gespräch mit dem Logiker Helmut Schwichtenberg über starke, schwache und schöne Beweise – und warum sie wichtig sind

Woran arbeiten Logiker?

Sie untersuchen Beweise. Beweise sind der Kern der Mathematik, und wenn Sie fragen, was ist ein Beweis, betreten Sie das Gebiet der Logik.

Sind denn da noch Fragen offen?

Durchaus. Sie haben zum Beispiel in der Informatik oft mit Sicherheitsfragen zu tun; da muss dann bewiesen werden, dass eine Schaltung oder eine Software fehlerfrei ist. Dieser Beweis muss auch wasserdicht sein – das untersucht der Logiker.

Theoretische Fragen gibt es auch?

Das geht Hand in Hand. Ein attraktives Forschungsthema ist der rechnerische Gehalt von Beweisen. Wenn Sie die Aussage bewiesen haben, dass es Zahlen mit einer Eigenschaft E gibt, dann ist das schön und gut. Aber besser wäre es, den Beweis so zu führen, dass solche Zahlen tatsächlich errechnet werden. Dann kann man den Beweis »stark« nennen. Die Anschlussfrage lautet: Wie kann man einen »schwachen« Beweis in einen »starken« übersetzen? Oder Teile davon?

Hat so etwas praktische Bedeutung?

Wenn Sie auf diese Weise arbeiten, dann entdecken Sie Schwachstellen in Beweisen – und wenn es sich um Beweise auf dem Gebiet der technischen Sicherheit handelt, dann ist das wichtig.

Also ist die Industrie an Logikern interessiert?

Das ist sie. Zu den Vorlesungen, die Mathematiker unbedingt besucht haben sollten, zählen die Industrievertreter gerade die Logik, speziell die Beweistheorie. Und die Modelltheorie.

Um was geht’s da?

Dieselbe mathematische Struktur kann sich als Modell für Geometrie oder für das Rechnen mit natürlichen Zahlen eignen. Solche Modellbeziehungen untersucht der Logiker; er unterscheidet zwischen einem Formalismus und seiner Bedeutung, also zwischen Syntax und Semantik. Aus der Vermischung entstehen immer wieder Fehler, die Geld kosten können, im Finanzwesen oder in der Chiptechnik.

Sie finden Beweise aber auch einfach schön, oder?

Es gibt Beweise und schöne Beweise. Sie sind das Herzstück der Mathematik. Dass in der Schule viel mehr gerechnet statt bewiesen wird, ist ein Fehler.

Helmut Schwichtenberg ist Logiker am Mathematischen Institut der Universität München