Wissen kompakt Kalkulierte Wahrheiten

Die wichtigsten Grundbegriffe der Logik von Wahrheit bis Kalkül. Eine Liste zum Mitdenken

Modus ponens: Eine der sogenannten »Schlussfiguren« der klassischen Logik, die auf Aristoteles zurückgeht. Die Figur heißt korrekt Modus ponendo ponens, und das bedeutet so viel wie »indem eine Aussage getroffen wird, wird zugleich eine andere getroffen«. Und das geht so: Aus den Voraussetzungen aus a folgt b und a ergibt sich die Aussage b . Die klassische Logik kennt viele solcher Schlussregeln. Sie werden in der Philosophie noch heute verwendet, um vertrackte Argumentationsgänge exakt auseinanderzulegen.

Wahrheit ist ein Begriff der Aussagenlogik, die Aussagen und deren Kombinationen die Eigenschaft »wahr« oder »falsch« zuspricht. Und zwar nach festgelegten Regeln. Stellen wir uns etwa vor, p und q seien irgendwelche Aussagen, aus denen wir die zusammengesetzte Aussage p oder nicht-q bilden. Diese ist wahr in folgenden drei Fällen: p ist wahr, und q ist falsch; p ist wahr, und q ist wahr; p ist falsch, und q ist falsch. Alle anderen, nicht formalen Wahrheitsbegriffe sind für die Logik sinnlos, so argumentierte jedenfalls der polnische Logiker Alfred Tarski (1901 bis 1983).

Die Philosophie muss sich natürlich mit anderen Wahrheitsbegriffen auseinandersetzen. Der »Korrespondenztheorie«, die auf Aristoteles zurückgeführt wird, gilt eine Aussage p dann als wahr, wenn dieser ein Sachverhalt p' außerhalb der Sprache entspricht. Anderen Theorien zufolge ist p wahr, wenn sich die am Gespräch Beteiligten auf p geeinigt haben – oder wenn p zum bisherigen Wissen passt. Diese Theorien lassen sich auch untereinander kombinieren.

Philosophische Logik ist eine Bezeichnung für sehr unterschiedliche Dinge. Einer ihrer Zweige untersucht Argumente, die in natürlicher Sprache vorgebracht werden, auf ihren formallogischen Gehalt. Insofern ist sie mit der Linguistik verwandt.

Etwas anderes ist die Logik, wie sie beispielsweise von Philosophen wie Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770 bis 1831) verfasst wurde. Es handelt sich um eine Lehre von den Kategorien: Sie soll die Allgemeinbegriffe des Denkens aus einander ableiten – und damit, Hegel war ja Idealist, nicht nur die Grundgesetze des Denkens, sondern der Wirklichkeit als Ganzer. In Hegels dreibändiger Wissenschaft der Logik werden Begriffe wie Sein, Nichts, Werden und viele andere scharfsinnig hin- und hergewendet – aber dass sich abstrakte Begriffe, einer nach dem anderen, aus sich selbst erzeugen könnten, glaubt in der heutigen Philosophie kaum noch jemand.

Kalkül ist in der Logik ein Wort männlichen Geschlechts, es heißt also »der Kalkül«. Er besteht aus festgelegten, in allen Schlüssen vorausgesetzten Sätzen (Axiomen) sowie Umformungsregeln. Auf diese Weise werden in einem Kalkül aus vorhandenen Formeln wieder neue gebildet.

Die Wahl der Axiome ist frei, aber nicht jede Wahl ist gut. Existieren sie nicht unabhängig voneinander, sondern lassen sie sich vielmehr aus einander herleiten, dann sind sie nicht wirklich grundlegend. Führen Axiome zu einander widersprechenden Sätzen, dann ist der ganze Kalkül unbrauchbar (weshalb es zu den Axiomen der Logik selbst gehört, dass von zwei Aussagen a und nicht-a stets nur eine gelten kann).

Modell ist ein Begriff, der in der Logik anders verwendet wird als in den übrigen Wissenschaften. Die Formeln eines Kalküls sind aus Symbolen zusammengesetzt. Den Symbolen kann eine bestimmte Interpretation zugewiesen werden – etwa dass die Symbolfolge a ◊ b die Bedeutung »a plus b« tragen soll. Wenn das so interpretierte Axiomensystem zu widerspruchsfreien Schlüssen führt, dann wird diese Interpretation als »Modell« des Axiomensystems bezeichnet. Mit dieser Sprechweise halten die Logiker strikt und sehr feinsinnig am Unterschied zwischen Syntax (dem Spiel mit den Symbolen des Kalküls) und Semantik (seiner Bedeutung) fest. Die angewandte Logik besteht nicht zuletzt aus der Überprüfung dieses Unterschieds innerhalb mathematischer Beweise – praktisch wichtig wird das in der Sicherheitstechnik (siehe Interview ).

Östliche Logik: Über das Schließen wurde schon in vorhellenischer Zeit nachgedacht, namentlich in Mesopotamien, was aber nur als Vorgeschichte der aristotelischen Logik bewertet werden kann. Eine Blüte erlebte die Logik im islamischen Kulturkreis bis ins 12. Jahrhundert, aus heutiger Sicht wurden aber keine über Aristoteles hinausweisenden Ergebnisse erzielt; Ähnliches gilt für die Logik im indischen und im chinesischen Raum.