Mathematik Eine Welt für sich

Werden die Sätze der Mathematik erfunden – oder entdecken wir sie wie unbekannte Tierarten und ferne Galaxien? Ein Essay über die Wirklichkeit der Zahlenwelt

Die Mathematik ist eigentlich eine Geisteswissenschaft«, sagt Kai Hauser. Für ihn geht es in dieser Wissenschaft nicht ums Rechnen oder um geometrische Strukturen. Wenn der jugendlich wirkende Forscher, der in Berlin, Berkeley und Barcelona lehrt, an einem sonnigen Tag auf einer Bank im Berliner Tiergarten ein zweistündiges Privatissimum gibt über Mengenlehre, Logik und die Unendlichkeit, dann schwirrt selbst dem gebildeten Laien bald der Kopf. Hauser geht es um Wahrheit, um das mathematische Universum. Für ihn steht fest, dass hochabstrakte Objekte wie die »nicht erreichbaren überabzählbaren Zahlen«, die größer sind als unendlich mal unendlich, keine Hirngespinste sind, sondern harte Realitäten. »Ich kann nicht beweisen, dass es das gibt«, sagt Hauser, »aber ich sehe keinen rationalen Grund, das infrage zu stellen.«

Wir schreiben das Jahr der Mathematik, in vielen Veranstaltungen (wie in der vergangenen Woche auf dem Wissenschaftssommer in Leipzig) soll das Interesse für die abstrakte Wissenschaft geweckt werden. Die Mathematiker zeigen, dass ohne ihre Kunst unsere technische Welt nicht funktionieren könnte. Praktisch ist die Mathematik ohne Zweifel – aber ist sie mehr als ein nützliches Werkzeug? Was sind das für Objekte, mit denen Mathematiker sich beschäftigen? Gibt es Primzahlen, unendliche Mengen und vierdimensionale Würfel jenseits der menschlichen Vorstellung?

Um diese Fragen drücken sich Mathematiker gern herum. Meist tun sie so, als beschrieben sie mit ihren Formeln eine geistige Welt, die unabhängig von Zeit und Raum und unserem kleinen Säugetierhirn in höheren Sphären existierte. Das klingt ein wenig nach Esoterik beziehungsweise nach dem alten Griechen Platon, der eine eigenständige Ideenwelt hinter den Dingen postulierte. Die moderne Naturwissenschaft kann damit nicht mehr viel anfangen. Für sie besteht die Welt aus physikalischen Objekten und deren Wechselwirkungen. Selbst den menschlichen Geist führt sie auf solche materiellen Vorgänge zurück – Ideen sind für sie nur elektrisch-chemische Entladungsmuster in unserem Gehirn. Die Liebe verschwindet mit dem, der sie fühlt. Aber wie steht es mit den Zahlen? Gibt es sie noch, wenn niemand mit ihnen rechnet?

»Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk«, sagte der Mathematiker Leopold Kronecker 1886 und provozierte damit seine Kollegen. »Der liebe Gott hat noch sehr, sehr viel mehr gemacht«, widerspricht Günter Ziegler, Präsident der Deutschen Mathematiker-Vereinigung und Professor an der Technischen Universität Berlin. Er beschreibt damit die Haltung der meisten Mathematiker: Sie betrachten sich nicht als Erfinder der Formeln und Gesetze, sondern als deren Entdecker, so wie Biologen neue Tierarten finden oder Astronomen neue Sternennebel. Das Philosophieren über diese seltsame Welt ist für den wissenschaftlichen Alltag nicht relevant. »Mit alldem arbeiten wir, ohne wirklich drüber nachdenken zu müssen«, sagt Ziegler. Fragt man bohrender nach, ziehen sich Mathematiker gern auf Formales zurück: Letztlich würden sie doch nur abstrakte Symbole nach den Regeln der Logik manipulieren. Alles nur ein Spiel?

»Sogar die ganzen Zahlen sind Menschenwerk«, postuliert Stanislas Dehaene und ist damit noch radikaler als der alte Kronecker. Dehaene ist Hirnforscher und Mathematiker am Collège de France in Paris und geht der Frage nach, wie die Mathematik in unseren Kopf kommt. Er glaubt, dass jeder Mensch einen Zahlensinn hat – so der Titel eines seiner Bücher. Schon drei Monate alte Babys können seinen Forschungen zufolge die Zahl von Objekten in verschiedenen Mengen unterscheiden.

Trotz dieses Zahlensinns darf man sich das menschliche Gehirn aber nicht wie einen Computer vorstellen. »Das Gehirn ist keine logische und optimal ausgestattete Maschine«, sag Dehaene. Was ein Computer fehlerfrei in Sekundenbruchteilen erledigt, tun wir in der Regel langsam und unvollkommen. Zwar demonstrierten in der vergangenen Woche in Leipzig bei der Weltmeisterschaft im Kopfrechnen einige Rechenkünstler bewundernswerte Fähigkeiten, wenn sie etwa in Sekundenschnelle die Wurzel aus einer sechsstelligen Zahl zogen. Aber gerade dass wir diese Ausnahmeleistungen so bewundern, zeigt ja, wie ungewöhnlich sie sind. Um die Größe zweier Zahlen zu vergleichen, braucht ein Normalmensch bis zu einer halben Sekunde. Und je näher die Zahlen beieinanderliegen, desto länger dauert das. »Unser Algorithmus für den Zahlenvergleich lässt sich eher mit einer Waage vergleichen«, sagt Dehaene. Auch eine Balkenwaage neigt sich umso langsamer zur Seite, je näher die beiden Gewichte beieinanderliegen.

Dehaene hat den Zahlensinn in verschiedenen Kulturen studiert und dabei nach einem allen Menschen gemeinsamen Kern gesucht. Sehr groß ist der nicht, wie eine Studie über die brasilianischen Munduruku-Indianer zeigt, die Dehaene soeben in der Zeitschrift Science veröffentlicht hat. In deren Sprache gibt es nur Wörter für die Zahlen Eins bis Fünf, danach geht es mit vagen Begriffen wie »manche« oder »viele« weiter. Rechnen können die Munduruku nicht. Sollen sie aber die Größe zweier Mengen von Punkten vergleichen, schneiden sie nicht schlechter ab als Menschen aus westlichen Zivilisationen. Dehaene schließt daraus: Das exakte Rechnen ist ein Kulturprodukt, angeboren ist uns dagegen ein intuitiver Sinn für Quantitäten. Und für diesen Sinn ist zum Beispiel der Unterschied zwischen 9 und 10 größer als der zwischen 99 und 100. Mathematisch gesprochen: Unser Zahlensinn ist nicht linear, sondern logarithmisch.

Auch der Blick in die Historie zeigt, dass unser heutiges Verständnis von Mathematik keinesfalls universell ist. Inder und Chinesen zum Beispiel haben komplexe Rechentechniken entwickelt, ohne über ein mathematisches System zu verfügen, in dem es als »wahr« angenommene Axiome gab und das auf reiner Logik beruhte. Damit begannen erst die Griechen zur Zeit des Pythagoras.

Bis vor gut hundert Jahren glaubten die Mathematiker noch, sie könnten ihr gesamtes Gebiet auf wenige grundlegende Annahmen der Logik und Mengenlehre zurückführen. Der große David Hilbert war überzeugt, alle mathematischen Fragen ließen sich eindeutig mit Ja oder Nein beantworten, auch wenn der Beweis schwierig sei. Inzwischen lässt sich tatsächlich die gesamte Mathematik auf ein paar Axiome der Mengenlehre gründen; doch den Traum von der Beweisbarkeit aller Aussagen beendete 1931 ein junger anstellungsloser Dozent. Kurt Gödel bewies: Jedes hinreichend komplexe System besitzt unentscheidbare Sätze. Und nicht einmal ihre Widerspruchsfreiheit kann die Mathematik aus eigener Kraft beweisen.

So formalistisch Gödels Überlegungen erscheinen – der Mann selbst war ein glühender Platoniker. Er glaubte, dass wir über eine mathematische Intuition verfügen, die uns Dinge aus einer anderen Welt wahrnehmen lässt – und in der sind auch die unentscheidbaren Sätze wahr oder falsch.

Die Unendlichkeit gibt es in diversen Geschmacksrichtungen

Eines dieser unentscheidbaren Probleme, an denen die Mathematiker sich heute noch abarbeiten, ist die Frage, wie viele reelle Zahlen es gibt. Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Georg Cantor als Erster eine quantitative Theorie des Unendlichen. Eine sogenannte Kardinalzahl ist dabei die Mächtigkeit einer Menge, die Zahl all ihrer Elemente. Die erste unendlich große Kardinalzahl ist die Mächtigkeit der ganzen Zahlen: Von denen gibt es unendlich viele, aber sie sind abzählbar – man kann sie in eine Reihenfolge bringen, in der jede Zahl irgendwann vorkommt (1, 2, 3 ,4…). Das geht – wenn auch nicht so einfach – ebenfalls mit den rationalen Zahlen, der Menge aller Brüche.

Aber dann gibt es noch die »schrägen« reellen Zahlen, zu denen alle Wurzeln sowie die Kreiszahl Pi und ihre Verwandten gehören; diese sind nicht abzählbar, auch das bewies Cantor. Daraus folgt: Es gibt »mehr« von ihnen als von den ganzen Zahlen. Aber gibt es noch etwas zwischen diesen beiden Mächtigkeiten? Cantors »Kontinuumshypothese« postulierte: Die Antwort laute nein, es gebe keine Menge, die größer ist als die der ganzen Zahlen, aber kleiner als die der reellen.

Naiv sollte man meinen: Die Frage müsste sich doch beantworten lassen, zum Beispiel indem man eine solche Menge findet. Aber die Kontinuumshypothese, das wurde 1963 bewiesen, ist von den heute allgemein akzeptierten Axiomen der Mathematik unabhängig – das heißt, sie kann weder bewiesen noch widerlegt werden.

Glaubt man aber, dass die reellen Zahlen in einer Ideenwelt tatsächlich existieren, dann muss die Hypothese wahr oder falsch sein. Zur Not muss man eben die Axiome neu fassen, um die Frage entscheidbar zu machen. Daran arbeiten Forscher wie Kai Hauser. »Es gibt Anzeichen dafür, dass die Kontinuumshypothese falsch ist«, sagt Hauser. Andere ignorieren das Problem eher. Für ihn sei dies die Entscheidung, meint der Hamburger Mathematiker und Philosoph Reinhard Diestel, »sich nicht für Objekte interessieren zu wollen, die nur existieren würden, weil man sie annimmt«.

Ganz so frei sind die Mathematiker in dieser Frage allerdings nicht. Es gibt durchaus interessante mathematische Probleme, die unterschiedliche Lösungen haben, je nachdem, ob man die Kontinuumshypothese für wahr oder für falsch hält – auf die Dauer ist das nicht befriedigend.

Dass die Mathematik nicht bloß ein Konstrukt des menschlichen Geistes ist, sondern ein platonisches Ideenreich, begründen die Mathematiker gern damit, dass sie sich erstaunlich gut auf die Wirklichkeit anwenden lässt. Albert Einsteins Relativitätstheorie etwa war rein mathematisch motiviert, und ihr Entdecker konnte sich selbst nicht erklären, wieso die Realität seinen Formeln entsprach. »Wie ist es möglich«, sagte Einstein, »dass die Mathematik, die doch ein von aller Erfahrung unabhängiges Produkt des menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstände der Wirklichkeit so vortrefflich passt?«

Existieren die Spielzüge im Schach unabhängig vom Menschen?

Der Hirnforscher Stanislas Dehaene hat eine Erklärung für das erstaunliche Phänomen: Die Mathematiker seien einfach vergesslich. Sie glaubten, ihre Theorien seien in Stein gemeißelt, und übersähen den Prozess der mathematischen Evolution – wenn viele unterschiedliche Wege ausprobiert werden, setzen sich natürlich diejenigen durch, die am besten zur Beschreibung der Wirklichkeit taugen. So ist zum Beispiel unser Zahlen- und Ziffernsystem das Ergebnis eines fünf Jahrtausende dauernden Ausleseprozesses. Wer das nicht glaubt, sollte einmal versuchen, zwei große Zahlen in der römischen Schreibweise miteinander zu multiplizieren. »Das Gebäude der Mathematik wurde durch Versuch und Irrtum errichtet«, sagt Dehaene. Und dem berühmten Diktum des Galilei, die Welt sei in der Sprache der Mathematik geschrieben, hält er entgegen: »Ich denke eher, dass dies die einzige Sprache ist, in der wir die Welt lesen.«

In aktuellen Forschungsgebieten kann man diesen evolutionären Prozess noch beobachten. Reinhard Diestels Spezialität ist zum Beispiel die sogenannte Graphentheorie. »So ein junges Gebiet ist wie eine frisch verschneite Wiese«, sagt Diestel, »jeder kann darin rumstapfen und Sachen machen.« Man probiere mal diese Definition aus, mal jene. Die »platonische Verantwortung« bestehe darin, »nicht irgendwelche Definitionen in die Welt zu setzen, was jeder Idiot kann, sondern sie so zu finden, dass mit ihrer Hilfe die Welt einfacher strukturiert ist«.

Nachdem der Mathematiker allerdings eine neue formale Welt geschaffen hat, passiert etwas Seltsames: Plötzlich zeigen die Objekte ihm ihr eigenes Gesicht. »Sie haben andere, verborgene Eigenschaften, die man dann wieder rauskriegen möchte. Insofern existieren die Objekte ganz bestimmt real«, ist Diestel überzeugt. Aber existiert das Schachspiel unabhängig vom Menschen, nur weil es Spielzüge möglich macht, die sich sein Erfinder nicht vorstellen konnte?

Alles Täuschung, sagt Dehaene. Vielleicht, spekuliert der Hirnforscher, kommt die Illusion daher, dass Mathematiker für ihre Denkgebäude Gehirnregionen recyceln, die in der biologischen Evolution einmal einen anderen Zweck erfüllt haben. Und sie brauchten diese gegenständliche Vorstellung auch: »Würden Mathematiker nicht an die Realität ihrer Objekte glauben, wären sie keine guten Mathematiker.«

Käme den mathematischen Objekten aber wirklich eine eigene Realität zu – müssten dann nicht andere intelligente Wesen, wenn sie denn im All existierten, dieselbe Mathematik betreiben? So weit wollen nicht einmal Mathematiker gehen. »Ich denke, da ist unsere Fantasie bezüglich außerirdischen Lebens ein bisschen beschränkt«, sagt Reinhard Diestel. »Die Frage ist: Würden die überhaupt Mathematik machen? Oder würden die nur singen?«

Veranstaltungen im Rahmen des Mathejahrs: www.jahr-der-mathematik.de