Mathematik Steh wieder auf!Gábor Domokos

Gábor Domokos erforscht in Budapest die Geometrie des Gleichgewichts

Peti schwant Böses. Blitzschnell zieht sie den Kopf ein und versteckt die Beine unter ihrem Panzer. Regungslos bleibt sie liegen. Vor ihr, in einer Tierhandlung in Budapest, steht Gábor Domokos, 47, Professor für Ingenieurwissenschaften in Budapest. Seine klaren blauen Augen blicken, als könnten sie kein Wässerchen trüben. Doch Petis Sorge ist berechtigt: Domokos packt die indische Sternschildkröte und dreht sie – schwups! – auf den Rücken. Doch Peti kontert. Kaum lockert Domokos den Griff, rollt sie elegant über die Seite und landet – ohne die Beine zu benutzen – sicher auf dem Bauch.

Was aussieht wie Zauberei, ist pure Geometrie. Dank der raffinierten Form ihres Panzers findet Peti stets automatisch in die Bauchlage zurück. Zwei Jahre lang hat Domokos nach dieser Form gesucht. Rund 70 Schildkröten hat er in Budapester Tierhandlungen und Zoos deshalb flachgelegt, zum Entsetzen mancher Wärter: »Mit unseren tropischen Schildkröten spielen Sie nicht!« In Peti hat er gefunden, was er suchte: das ultimative Stehaufmännchen. Wie immer man es dreht und wendet, stets kehrt es in seine Ausgangslage zurück – ohne Antrieb oder zusätzliche Tricks.

Dass ein solches Gebilde überhaupt existieren könnte, hielten Mathematiker lange Zeit für ausgeschlossen. Sie waren überzeugt: Jeder dreidimensionale Körper muss mindestens vier Gleichgewichtspunkte haben – Punkte also, auf denen der Körper auf einer ebenen Fläche ruhig liegen bleibt. Ein Stehaufmännchen aber hat nur zwei Gleichgewichtspunkte, einen stabilen und einen instabilen. Folglich könne es ein solches Gebilde nicht geben.

Domokos glaubte trotzdem daran. Den Anstoß dazu hatte der russische Mathematiker Vladimir Arnold gegeben, den Domokos 1995 auf einer Konferenz in Hamburg traf. Als sie über die Frage diskutierten, ob das Problem der überzähligen Gleichgewichtspunkte zu lösen sei, sagte Arnold schlicht: »Ich glaube, ja. Aber finden Sie es doch einfach heraus.« Domokos’ Ehrgeiz war geweckt.

Schon während des Studiums der Ingenieurwissenschaften und Architektur an der TU Budapest hatte der Ungar begonnen, sich für Mathematik zu interessieren. »Ein Originalband des legendären Mathematikers Gauss hat mich 600 Forint gekostet – mehr als eine Monatsmiete«, erinnert sich Domokos. Später entwarf er mathematische Modelle über die Entwicklung von Pflanzen- und Tierarten und analysierte den Aufbau von DNS-Molekülen. »Die Frage nach dem Stehaufmännchen war ganz nach meinem Geschmack«, schmunzelt Domokos.

Gemeinsam mit seinem Kollegen Péter Várkonyi rechnete und zeichnete er elf Jahre lang. »Wir haben keine aufwendigen Computermodelle verwendet, sondern nur das hier oben«, sagt Domokos und tippt mit dem Zeigefinger auf die Stirn. Neben Hirnschmalz und Sitzfleisch half ihm nicht zuletzt die Sturheit seiner Frau Réka.

Mit ihr sammelte Domokos Kieselsteine, in der Hoffnung, unter ihnen ein natürlich geschaffenes Stehaufmännchen zu finden: »Während eines Urlaubes auf Rhodos vor drei Jahren haben wir beschlossen, 2000 Kieselsteine zu sammeln und zu untersuchen. Ich wollte nach drei Tagen und 1000 Exemplaren aufgeben, aber Réka blieb beharrlich.« Vier Tage später war der Urlaub vorbei, 150 Kilogramm Steine waren gewälzt – und kein Stehaufmännchen gefunden. Domokos aber hatte genug gesehen, um die entscheidende Idee zu haben: »Ein Körper mit nur einem stabilen Gleichgewichtspunkt muss kugelähnlich sein, schoss es mir damals in den Sinn.«

Der »Gömböc« hat seine Erfinder in Ungarn zu Stars gemacht

Ein Jahr lang feilte er. Dann war der »Gömböc« (vom ungarischen gömb = Kugel) geboren. Die Mathematikergemeinde stand – wie Schildkröte Peti – kopf. Denn der Körper, der an einen Faustkeil mit ausladendem Hinterteil erinnert, hat tatsächlich nur zwei Gleichgewichtspunkte: einen instabilen auf der spitzen Oberseite – wo ihn bereits die kleinste Störung aus der Balance bringt – und einen stabilen auf der abgerundeten Unterseite – weshalb es ihn aus jeder erdenklichen Position wie magisch dorthin zurückzieht.

»Der Gömböc ist so etwas wie die Stammzelle dreidimensionaler Körper«, sagt Domokos. »Aus ihm kann man Körper mit beliebig vielen stabilen und instabilen Gleichgewichtspunkten konstruieren.« Eben so, wie sich eine Stammzelle zu verschiedenen Organen entwickeln kann.

Diese Position des Gömböc im Figurenkabinett zeigt sich in einem neuen Klassifizierungsschema für Formen, das Domokos entwickelt hat. Wie ein unendliches Schachbrett sieht die Einteilung aus, in der jeder Körper auf einem bestimmten Feld – in seiner »Klasse« – liegt. Je mehr instabile Gleichgewichtspunkte ein Körper hat, desto weiter rechts wird er angesiedelt. Je mehr stabile Gleichgewichtspunkte er besitzt, desto weiter unten. Der Gömböc liegt in der Klasse 1/1. Der Würfel in der Klasse 6/8. »Diese Einteilung hilft uns, ein tieferes Verständnis für Formen zu entwickeln«, glaubt Domokos. »Es gibt Millionen von Körpern, aber für die meisten haben wir nicht einmal Namen, weil unser Gehirn sie nicht richtig begreifen kann. Wenn wir sie auf unser Schachbrett setzen, werden sie fassbarer.«

Domokos aber kann mehr als nur die Figuren aufstellen. Er weiß auch, mit welchen Zügen man sie über das Brett fahren kann: »Die Zahl der Gleichgewichtspunkte eines Körpers zu erhöhen ist einfach. Es genügt, winzige Teile seiner Oberfläche abzureiben. Die Zahl der Gleichgewichtspunkte zu verringern ist sehr kompliziert. Dafür muss man große Stücke von ihm abhacken.«

Der Gömböc hat seine Erfinder in ihrem Heimatland zu Stars gemacht. Im vergangenen Jahr wurden Domokos und Várkonyi mit dem Ritterkreuz der Republik Ungarn ausgezeichnet, die Nationalbank wählte die Figur vor Kurzem zum Symbol für die (erhoffte) monetäre Stabilität des Forint, und auf der Expo 2010 in Shanghai soll sie als Zeichen für das ganze Land stehen. Die Asiaten, die in ihr ein dreidimensionales Yin und Yang sehen, haben sie als neue Meditationshilfe entdeckt, und die Aussicht auf ein Stehaufmännchen, das nach einer Bauchlandung auf dem holprigen Mars-Boden ohne viel Energie wieder auf die Beine kommt, hat sogar die amerikanische Weltraumbehörde Nasa schon auf die Gömböc-Webseite gelockt.

Jetzt bestätigt sich zudem, was Domokos von Anfang an vermutet hat: Die Natur war den menschlichen Geometern um Jahrmillionen voraus. Petis Panzer ist nichts anderes als ein Gömböc. Für die Schildkröte und ihre Artgenossen ist die geniale Geometrie ein Überlebensvorteil. »Wenn junge Geparden die Schildkröten beim Spielen auf den Rücken kegeln oder sie sich selbst in die missliche Lage bringen, wenn sie es beim Sex zu wild und bei Rangeleien zu rabiat treiben, kommen sie damit leicht wieder auf die Beine«, erklärt Domokos. Begeistert lässt er Peti noch einmal Purzelbaum schlagen. »Sonst macht die Evolution oft Kompromisse. In diesem Fall hat sie die optimale Lösung gefunden.«

Sechseinhalb Zentimeter hoch, sieben Zentimeter breit – das sind die Idealmaße für Schildkröten. Das ausgeglichene Verhältnis von Panzerhöhe zu Panzerbreite sorgt laut Domokos für den richtigen Dreh. Schon bei einer Abweichung von wenigen Millimetern tauchen auf den Seiten des Panzers zwei starke stabile Gleichgewichtspunkte auf, und die Tiere müssen kräftig strampeln, um wieder auf die Beine zu kommen. Am schwersten tun sich Wasserschildkröten, bei denen die Panzerhöhe meist weniger als 57 Prozent der Breite beträgt. Das beschert ihnen einen stabilen Gleichgewichtspunkt auf dem Rücken, der viel Körpereinsatz verlangt. Tiere dieses Formats setzen ihren langen Hals als Hebel ein, pressen den Kopf zu Boden und wuchten sich unter Verrenkungen wieder auf. Was an Land von Nachteil ist, erweist sich im Wasser als Vorteil. Denn dort lässt ein flacher Panzer die Schildkröten stromlinienförmig und stabil dahingleiten. Manchmal ist es eben gut, Kompromisse zu machen.

Derzeit denkt Domokos auch darüber nach, wie unbelebte Körper Gestalt annehmen. Asteroiden zum Beispiel, die zuhauf um die Sonne kreisen. Oder Kieselsteine im Wasser. An Stränden und in Flussbetten hat Domokos Schotterproben genommen, sie auf dem Schachbrett platziert und inzwischen erste Trends erkannt: An elliptischen Steinchen (Klasse 2/2) hat meist die Meeresbrandung genagt. Harte Materialien weisen in der Regel mehrere Gleichgewichtspunkte auf, weil ihre Ecken der Abreibung länger standhalten. Und: Nahe Verwandte des Gömböc sind normalerweise recht jung, weil die Naturgewalten kaum Zeit hatten, an ihnen zu feilen. Die Hoffnung, den Gömböc selbst unter den Kieselsteinen zu finden, hat Domokos mittlerweile aufgegeben: »Ich glaube, dass die Form in der Natur nur bei Lebewesen vorkommt, wenn damit ein bestimmter Zweck verbunden ist – wie jener, wieder auf die Beine zu kommen.«

Hat die Natur neben Peti und Co. noch weitere Stehaufmännchen geschaffen – Domokos wird sie finden. Als Nächstes hat er sich die Fauna des Vereinigten Königreichs vorgenommen. Für einige Monate geht er als Gastwissenschaftler ans Trinity College der Universität Cambridge. Englands Schildkröten: Geht in Deckung!