MathematikDer maliziöse Moderator

Ein Statistiker wirft einen neuen Blick auf das alte »Ziegenproblem«. von 

Ziege Wiese Weide Natur

Ziegen gelten als sture Tiere. Statistiker beschäftigen sich mit der Frage, wann dieses Verhalten klug ist  |  © krockenmitte/Photocase

Das »Ziegenproblem« beschäftigt die ZEIT und ihre Leser seit fast 20 Jahren. Damals verfasste unser Redakteur Gero von Randow einen unscheinbaren Artikel über diese Denksportaufgabe. Der löste ein so gewaltiges Leserecho aus, dass von Randow sogar ein Buch über das Problem schrieb. Bis heute bietet die Knobelei immer neue und überraschende Wendungen.

Worum geht’s? Originaltext ZEIT Nr. 30/91 : »Sie nehmen an einer Spielshow im Fernsehen teil, bei der Sie eine von drei verschlossenen Türen auswählen sollen. Hinter einer Tür wartet der Preis, ein Auto, hinter den beiden anderen stehen Ziegen. Sie zeigen auf eine Tür, sagen wir, Nummer eins. Sie bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet; mit den Worten ›Ich zeige Ihnen mal was‹ öffnet er eine andere Tür, zum Beispiel Nummer drei, und eine meckernde Ziege schaut ins Publikum. Er fragt: ›Bleiben Sie bei Nummer eins, oder wählen Sie Nummer zwei?‹ — ja, was tun Sie jetzt?«

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Sie sollten wechseln. Auch wenn es Ihrer Intuition widerspricht: Wer stur bleibt, gewinnt das Auto mit einer Wahrscheinlichkeit von einem Drittel, die Chance des Wechslers dagegen ist zwei Drittel. Doch, das stimmt wirklich. Das Original im amerikanischen Fernsehen war die Monty Hall Show, in Deutschland lief das simple Ratespiel unter dem Titel Geh aufs Ganze bei Sat.1. Statt einer Ziege wartete auf den Verlierer ein rot-schwarzes Stofftier, der Zonk.

Natürlich lief die Rateshow nicht nach dem Muster der Denksportaufgabe ab. Der Moderator öffnete nicht jedes Mal eine der Türen – er versuchte auf unterschiedliche Arten, dem Kandidaten entweder zu helfen oder ihn aufs Glatteis zu führen.

Der Medizinstatistiker Jan Schuller aus Brüssel dachte nun noch einmal unter realistischeren Bedingungen über das Problem nach und kommt zu dem Schluss: Es ist langfristig besser, nicht zu wechseln! »Warum? Ganz einfach«, schreibt uns Schuller. »Wenn ich bleibe, dann ist meine Gewinnchance ein Drittel. Auf jeden Fall. Und wenn ich wechsle? Nun gut, die klassische Lösung sagt: zwei Drittel. Aber wenn ich mir diesen Showmaster anschaue… wie der grinst! Gewiss will er mich hinters Licht führen und hat mir nur die Tür mit der Niete geöffnet, weil ich mit meiner ersten Wahl richtig lag. Er weiß natürlich, dass ich die klassische Lösung kenne und will mich nun dazu bringen, dass ich wechsle. Aber dann werde ich auf jeden Fall verlieren. Aber vielleicht tue ich ihm auch unrecht…«

Wie schwer es ist, hinter die Fassade der Fernsehprofis zu blicken, zeigt uns Günther Jauch ständig bei Wer wird Millionär. Schuller geht auf Nummer sicher, blendet alle Gaukeleien des Moderators aus und wahrt seine Chance von einem Drittel. Würde er wechseln, dann wäre seine Chance vielleicht zwei Drittel – aber nur wenn das Lächeln des Moderators Wohlwollen bedeutet und nicht Bosheit.

Verzichtet der Kandidat auf Laienpsychologie und nimmt das Böseste an, dann begibt er sich auf das Feld der Spieltheorie und bedient sich des sogenannten Minimax-Verfahrens: Dieser Algorithmus minimiert den maximal möglichen Verlust bei einem Spiel. Beim Wechseln ist der maximal mögliche Gewinn zwar höher als beim Bleiben. Die Verlustchance aber betrüge – unter einem fiesen Moderator – beim Wechseln 100 Prozent. Deshalb gibt es für den Spieler nur eine Lösung: Stur bleiben!

Diesen Artikel finden Sie als Audiodatei im Premiumbereich unterwww.zeit.de/audio

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Leserkommentare
  1. Redaktion

    dass die eigentliche Kunst des mathematischen Modellierens nicht in der Mathematik sondern im Modellieren liegt.

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    Entscheidend ist der Satz: "Der Moderator weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet". Damit ist die an sich korrekte 2/3-Wahrscheinlichkeit irrelevant: Man weiß ja nicht, inwiefern sich der Moderator manipulativ verhält. Daher sind in diesem Fall der Hinweis des Moderators wie auch die Empfehlung des Autors "Sie sollten wechseln" zu ignorieren.

    • yohak
    • 23. Juli 2010 18:45 Uhr

    Sehr richtig ! Und um den Bogen zu einem anderen Thema zu schlagen: Genau dasselbe Probleme gibt es auch in der Anwendung Finanzmathematik, wo Banken mit durchaus sehr solider Mathematik zu völlig unsinnigen Schlüssen kommen, weil bei der Modellierung unsinnige Annahmen zugrunde gelegt werden, z.B. dass Immobilienpreisen nicht fallen können, oder dass das Konkursrisiko verschiedener Hypothekennehmer voneinander unabhängig sei.
    Und am Ende stellt sich dann heraus, dass komplexe Finanzprodukte, die von Ratingsagenturen mit AAA bewertet
    wurden, nur wertloses Altpapier sind.

  2. nachdem eine "ziegentür" bekannt gegeben ist, liegt die gewinnchance für die nächste entscheidung bei 50%, nicht bei ein oder zwei dritteln. egal, ob man bleibt oder wechselt.

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    • X12
    • 22. Juli 2010 20:04 Uhr

    Hi

    Am Anfang hat jedes Tor eine Gewinnchance von 1/3.

    Wenn die Sendeleitung eine der Tore öffnet, wissen Sie doch bereits, dass Ihr gewähltes Tor deshalb nicht geöffnet wurde, weil Sie es eben gewählt haben. An der Wahrscheinlichkeit 1/3 ändert sich bei Ihrer Wahl nichts. Während das andere Tor nur dann geöffnet werden kann, wenn die beiden nicht gewählten Tore Nieten sind. Ist das noch nicht geöffnete Tor keine Niete, kann es nicht geöffnet werden. Sie wissen also schon was über dieses Tor.

    Jetzt ist also schon ein Tor aus dem Spiel. Wo schlagen Sie die 1/3 Wahrscheinlichkeit drauf, die jetzt frei werden, wenn Sie wissen, dass sich an Ihrer Wahl nichts geändert hat?

    MfG

    Bei der ersten Wahl hat der Kandidat eine Chance von 1:3, dass er den Treffer landet, in 2:3 Fällen liegt er daneben.
    In 2:3 Fällen ist also der Preis hinter einer der nicht gewählten Türen.

    Dies bedeutet aber zugleich, dass der Moderator in 2:3 Fällen KEINE Wahl beim Öffnen einer der beiden anderen Türen hat: Er muss die Tür mit dem Preis geschlossen lassen und die zweite verbliebene Niete öffnen.
    Damit gibt der Moderator in 2:3 Fällen durch die Auswahl der Tür den entscheidenden Hinweis.

    Ergebnis:
    Wahrscheinlichkeit eines Treffers bei der ersten Wahl bzw. beim Verbleiben bei der ersten Wahl 1:3.
    Wahrscheinlichkeit eines Treffers beim Wechsel in der zweiten Runde: 2:3.

    MfG, Ijon Tichy

    • keox
    • 22. Juli 2010 21:45 Uhr

    Das nennt man 'Bauernschlau' :-))

    • mat123
    • 22. Juli 2010 22:39 Uhr

    "nachdem eine "ziegentür" bekannt gegeben ist, liegt die gewinnchance für die nächste entscheidung bei 50%, nicht bei ein oder zwei dritteln. egal, ob man bleibt oder wechselt."

    Sie haben recht für den Fall, dass Sie sich mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% für den Wechsel und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% für's Bleiben entscheiden.

    • X12
    • 22. Juli 2010 19:41 Uhr

    Laienpsychologie: Wenn der Showmaster mit höherer Wahrscheinlichkeit fies ist als nett/indifferent, würde sich für die Zuschauer und Kandidaten bald ein Muster zugunsten des Sturseins entwickeln. Die Show wäre gezwungen, ihre "fiese" Strategie in eine willkürliche Verteilung umzuwandeln, was einen Wechsel zu einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 begünstigt.

    Minimax-Verfahren: Der Kandidat hat nix und kann auch nix "verlieren". Ergo sind die Verlustchancen gleich null. Die Gewinnchancen sind höher beim Wechseln, ergo ist auch der zu erwartende Gewinn höher beim Wechseln. Das Minimax-Verfahren ist ja nun wirklich nicht erhellend, oder?

    • mwwbf
    • 22. Juli 2010 19:42 Uhr

    Wenn nach der ersten Wahl immer eine Niete geöffnet wird, hat man eine 50:50 Chance.

    Nur wenn die geöffnete Tür zufällig ausgewählt wird, hat man eine Chance von 2/3, indem man bei seiner Wahl bleibt.

  3. 5. Ziege

    @ Bauer

    Sie entscheiden sich für Tor 1. Sie haben folglich eine Gewinnchance von 1/3.

    Mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 ist der Gewinn hinter Tor 2 oder auch 3.

    Nach der ersten Runde öffnet der Moderator nun ein Tor. Er kann nur Tor 2 oder 3 öffnen. Außerdem kann er natürlich nicht das Tor öffnen hinter dem sich der Gewinn befindet.

    Tor 1: WS=1/3

    Tor 2 und 3: WS=2/3 -- Moderator liquidiert ein Tor für Sie; Wahrscheinlichkeitsverteilung bleibt natürlich die gleiche, da sich nach Ihrer Entscheidung nichts an der Situation (Standort der Ziege) geändert hat.

    Nehmen wir an, der Moderator öffnet Tor 2. Der Gewinn befindet sich immer noch mit der WS von 2/3 hinter Tor 2 oder 3. Hinter Tor zwei ist der Gewinn nun natürlich nicht, da sie die Niete sehen.

    Wie entscheiden Sie sich?

    Verändert Herr Schuller nicht die Spielregel? Da ich keinen Einsatz einbringe, muss ich auch nichts minimieren.

    • X12
    • 22. Juli 2010 20:04 Uhr

    Hi

    Am Anfang hat jedes Tor eine Gewinnchance von 1/3.

    Wenn die Sendeleitung eine der Tore öffnet, wissen Sie doch bereits, dass Ihr gewähltes Tor deshalb nicht geöffnet wurde, weil Sie es eben gewählt haben. An der Wahrscheinlichkeit 1/3 ändert sich bei Ihrer Wahl nichts. Während das andere Tor nur dann geöffnet werden kann, wenn die beiden nicht gewählten Tore Nieten sind. Ist das noch nicht geöffnete Tor keine Niete, kann es nicht geöffnet werden. Sie wissen also schon was über dieses Tor.

    Jetzt ist also schon ein Tor aus dem Spiel. Wo schlagen Sie die 1/3 Wahrscheinlichkeit drauf, die jetzt frei werden, wenn Sie wissen, dass sich an Ihrer Wahl nichts geändert hat?

    MfG

  4. Bei der ersten Wahl hat der Kandidat eine Chance von 1:3, dass er den Treffer landet, in 2:3 Fällen liegt er daneben.
    In 2:3 Fällen ist also der Preis hinter einer der nicht gewählten Türen.

    Dies bedeutet aber zugleich, dass der Moderator in 2:3 Fällen KEINE Wahl beim Öffnen einer der beiden anderen Türen hat: Er muss die Tür mit dem Preis geschlossen lassen und die zweite verbliebene Niete öffnen.
    Damit gibt der Moderator in 2:3 Fällen durch die Auswahl der Tür den entscheidenden Hinweis.

    Ergebnis:
    Wahrscheinlichkeit eines Treffers bei der ersten Wahl bzw. beim Verbleiben bei der ersten Wahl 1:3.
    Wahrscheinlichkeit eines Treffers beim Wechsel in der zweiten Runde: 2:3.

    MfG, Ijon Tichy

  5. Um hier jeglicher Diskussion ueber das Originalproblem den Naehrboden zu nehmen:

    Beim Nichtwechseln ist die Gewinnchance 1/3!!!!!!!
    Beim Wechseln ist die Gewinnchande 2/3!

    Wers nicht glaubt, einfach ausprobieren!!!!11elf

    Reaktionen auf diesen Kommentar anzeigen

    Statistik und ausprobieren ist immer so ne Sache ...lach

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