ZiegenproblemUnd ewig meckert die Ziege

Eine neue Lösung für ein Problem, das seit 20 Jahren die ZEIT-Leser erregt. von 

Ach, das Ziegenproblem! Es beschäftigt die Leser dieser Zeitung seit zwei Jahrzehnten. In der Ausgabe 30/91 erschien der erste Artikel zu dieser scheinbar so einfachen Denksportaufgabe und löste eine Flut von Zuschriften aus , auch von Mathematikprofessoren. Bis heute erhitzt das mathematische Problem die Gemüter.

Für alle, die sich später zugeschaltet haben, hier die Originalformulierung des Problems: "Sie nehmen an einer Spielshow im Fernsehen teil, bei der Sie eine von drei verschlossenen Türen auswählen sollen. Hinter einer Tür wartet der Preis, ein Auto, hinter den beiden anderen stehen Ziegen. Sie zeigen auf eine Tür, sagen wir, Nummer 1. Sie bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet; mit den Worten ›Ich zeige Ihnen mal was‹ öffnet er eine andere Tür, zum Beispiel Nummer 3, und eine meckernde Ziege schaut ins Publikum. Er fragt: ›Bleiben Sie bei Nummer 1, oder wählen Sie Nummer 2?‹ – Ja, was tun Sie jetzt?"

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Viele sagen intuitiv: Es ist egal, ob man seine Meinung wechselt – es bleiben zwei Türen, hinter einer steht das Auto, die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt jeweils 50 Prozent.

Aber das stimmt nicht, denn die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit für Tür 1 war ein Drittel, auf Tür 2 und 3 entfielen zwei Drittel. Da Tür 3 nach der Aktion des Moderators definitiv ausfällt, steht das Auto mit einer Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln hinter Tür 2. Also sollte man wechseln!

In der Ziegenproblemforschung ging es allerdings nie um die Lösung an sich, sondern stets um die Frage: Wie kann man die Sache so formulieren, dass sie ihre Paradoxie verliert und jedem die Lösung einleuchtet? Der Mathematiker Sascha Gnedin von der Universität Utrecht unternimmt nun einen neuen Versuch, der in der Zeitschrift Mathematical Intelligencer zu lesen sein wird. Seiner Meinung nach ist es ein Fehler, die Sache als Glücksspiel anzusehen, dem man mit den Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu Leibe rücken muss. Denn in dem Spiel kommt an keiner Stelle der Zufall zum Zuge: Die Redaktion versteckt das Auto hinter einer der drei Türen, der Moderator sucht sich (falls er überhaupt die Wahl hat) eine Tür aus, die er öffnet. Menschen haben Vorlieben – was zum Beispiel, wenn der Moderator gehfaul ist und am liebsten die Tür öffnet, der er am nächsten steht?

"Im Schach kommt man auch nicht auf die Idee, über den nächsten Zug mit einem Münzwurf zu entscheiden", sagt Sascha Gnedin. Vielmehr geht es darum, den optimalen Zug in einem Spiel zu finden, in dem auf beiden Seiten Menschen sitzen, die gewinnen wollen. Also solle man sich der mathematischen Theorie bedienen, die solche strategischen Probleme behandelt: der Spieltheorie.

Im Gegensatz zum Schach, dessen Spielvariationen endlich, aber unüberschaubar sind, lässt sich das Ziegenproblem als Spiel sehr leicht vollständig beschreiben. Es besteht aus genau vier Zügen: Im ersten wird das Auto versteckt, im zweiten wählt der Kandidat eine Tür, im dritten öffnet der Moderator eine Ziegentür, und im vierten entscheidet sich der Showgast, ob er bei seiner Wahl bleibt oder wechselt. Insgesamt gibt es 24 mögliche Spielverläufe.

Leserkommentare
  1. Einfacher geht das mit nur drei Spielzügen:

    1 Kandidat wählt
    2 Moderator verrät
    3 Kandidat wählt

    Wenn bei 1 eine Ziegentür gewählt wurde(2/3), dann muss in 2 die andere Ziegentür geöffnet werden. Dann ist die andere Tür die Autotür.

    • Keiner
    • 19. August 2011 13:15 Uhr

    "Aber das stimmt nicht, denn die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit für Tür 1 war ein Drittel, auf Tür 2 und 3 entfielen zwei Drittel. Da Tür 3 nach der Aktion des Moderators definitiv ausfällt, steht das Auto mit einer Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln hinter Tür 2. Also sollte man wechseln!"

    Wie kommt man darauf, dass das Drittel von Tür 3 nun Tür 2 zugewiesen wird? Ich hätte gedacht, dass das Drittel von Tür 3 auf die restlichen Optionen verteilt wird, dann wäre das wieder 50 / 50.
    Oder habe ich was übersehen?

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    • SK3891
    • 19. August 2011 13:30 Uhr

    ...und genau das verstehe ich auch nicht. Ein Vergleich zwischen Roulette und Lotto: Bei einer Lottoziehung 6 aus 49 habe ich eine bestimmte Zahl getippt. Bevor die erste Zahl gezogen wird, besteht für die in Rede stehende Zahl die Wahrscheinlichkeit von sagen wir 1:49. Wird diese Zahl nun nicht gezogen, besteht beim zweiten Mal die Wahrscheinlichkeit von 1:48, denn die erste gezogene Zahl wird ja nicht "zurückgelegt", kann also nicht erneut gezogen werden.
    Beim Roulette nehme ich wieder eine Zahl und die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl gezogen wird, ist stets näherungsweise 1:36(ungeachtet irgendwelcher quantenphysikalischer Gesetze). (Anders würde die Angelegenheit natürlich aussehen, hätte ich die Statistiken von allen Roulettetischen auf der Welt vorliegend. :) )

    Bei dieser Ziegensache ist ja die geöffnete Tür raus, fließt nicht mehr in die Rechnung ein, wird nicht zurückgelegt. Ähnlich wie beim Lotto. Mit der Annahme der Wahrscheinlichkeit von einem Drittel müsste ja noch die Entscheidung des Moderators einfließen, dass er eine Tür öffnet und er würde dies immer(!) dann tun, wenn der Kandidat eine Tür gewählt hat, hinter der sich eine Ziege befindet, was ja der Moderator weiß.

    Also wie man da auf ein Drittel kommt, ist mir ebenso schleierhaft und vermag der Artikel nicht zu klären.

  2. Das Problem lässt sich gut intuitiv erfassen, wenn man die Zahl der Türen erhöht: Wählt der Kandidat 1 von 100 Türen, bevor der Moderator 98 öffnet, würde er sicher wechseln.

    6 Leserempfehlungen
    • SK3891
    • 19. August 2011 13:30 Uhr

    ...und genau das verstehe ich auch nicht. Ein Vergleich zwischen Roulette und Lotto: Bei einer Lottoziehung 6 aus 49 habe ich eine bestimmte Zahl getippt. Bevor die erste Zahl gezogen wird, besteht für die in Rede stehende Zahl die Wahrscheinlichkeit von sagen wir 1:49. Wird diese Zahl nun nicht gezogen, besteht beim zweiten Mal die Wahrscheinlichkeit von 1:48, denn die erste gezogene Zahl wird ja nicht "zurückgelegt", kann also nicht erneut gezogen werden.
    Beim Roulette nehme ich wieder eine Zahl und die Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl gezogen wird, ist stets näherungsweise 1:36(ungeachtet irgendwelcher quantenphysikalischer Gesetze). (Anders würde die Angelegenheit natürlich aussehen, hätte ich die Statistiken von allen Roulettetischen auf der Welt vorliegend. :) )

    Bei dieser Ziegensache ist ja die geöffnete Tür raus, fließt nicht mehr in die Rechnung ein, wird nicht zurückgelegt. Ähnlich wie beim Lotto. Mit der Annahme der Wahrscheinlichkeit von einem Drittel müsste ja noch die Entscheidung des Moderators einfließen, dass er eine Tür öffnet und er würde dies immer(!) dann tun, wenn der Kandidat eine Tür gewählt hat, hinter der sich eine Ziege befindet, was ja der Moderator weiß.

    Also wie man da auf ein Drittel kommt, ist mir ebenso schleierhaft und vermag der Artikel nicht zu klären.

    Antwort auf "da habe ich ne Frage"
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    • Yulivee
    • 19. August 2011 13:34 Uhr

    http://de.wikipedia.org/w...

    Ja, es klingt unlogisch.
    Die Tabelle macht es verständlicher.

  3. Das Problem wurde doch schon erschöpfend gelöst, dieser Ansatz reitet auf toten Pferden herum.

    Natürlich ist die Chance, am Anfang die richtige Tür zu treffen, 1/3. Dann ist die "andere Chance", nämlich das Gewinnen durch Wechseln 1 - 1/3 = 2/3.

    Eine Leserempfehlung
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    • Keiner
    • 20. August 2011 12:49 Uhr

    Im Wikipedia-Artikel zu diesem Problem steht bei Kontroversen:

    "Die Gewinnchance für das zweite Tor sei aber niemals 2/3 sondern generell nur 1/2, weil nach dem Öffnen eines Tores mit einer Ziege dahinter nur noch zwei geschlossene Tore zur Auswahl ständen. Die Chancen seien deshalb auf beide Tore immer gleichverteilt."

    Mathematisch oder statistisch ist das jedenfalls so.

    • Yulivee
    • 19. August 2011 13:34 Uhr

    http://de.wikipedia.org/w...

    Ja, es klingt unlogisch.
    Die Tabelle macht es verständlicher.

    2 Leserempfehlungen
    Antwort auf "auch mir unklar"
    • mark13
    • 19. August 2011 13:39 Uhr

    Der Fehler steck in diesem Satz:

    "Da Tür 3 nach der Aktion des Moderators definitiv ausfällt, steht das Auto mit einer Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln hinter Tür 2."

    Tür 3 fällt nämlich nicht aus. Der Gewinn kann immer noch dahinter stecken.

    Man hat nun die Wahl zwischen 2 Türen die man noch nicht gewählt hat und einer Tür, die man schon gewählt hat.

    Gewinnchance immer noch 1:3.

    (Mir als Informatiker, einem Gebiet der angewandten Mathematik, ist natürlich klar, daß sich reine Mathematiker an diesem Problem die Zähne ausbeißen können. ;) )

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    • Rhyz
    • 19. August 2011 13:53 Uhr

    "Tür 3 fällt nämlich nicht aus. Der Gewinn kann immer noch dahinter stecken."?

    Tür 3 hat der Moderator gerade eben geöffnet und da meckert dich eine Ziege an. Wie kann hinter Tür 3 also noch nen Gewinn stecken?

    • zenobit
    • 19. August 2011 14:49 Uhr

    Oje, hätten sie geschwiegen, wären sie vielleicht ein schlauer Informatiker geblieben ;)

    Sie als Informatiker können das Problem doch wunderbar empirisch lösen...
    Sie programmieren eine Gameengine für das vorliegende Problem, die Zeit stellt das dann als Multiplayergame für je zwei Spieler als Onlinespiel zur Verfügung.
    Ein Spieler ist Moderator der Andere Kandidat. So nach ca. 500.000 echten Tests dürfte das Bild klar werden.
    Ich würde mich sogar anbieten gratis den Entwurf dazu zu liefern.

  4. Das Lottobeispiel ist kein adäquater Vergleich.

    Die Warscheinlichkeit, dass in der nicht gewählten Tür das Auto steht ist immer 2/3. Wenn man die nichtgewählten Türen als Einheit betrachtet, bleibt diese Warscheinlichkeit bestehen und dass in einer der beiden die Ziege steht ist sicher (100%). Somit verändert das Handeln des Moderators nicht die Warscheinlichkeit von 2/3 der nichtgeöffneten Türen - nur dass nun eine schon geöffnet ist.

    2 Leserempfehlungen

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