Mathematik : Ist der Knoten geplatzt?

Unter Mathematikern herrscht freudige Aufregung. Eine neue Theorie könnte Ordnung in die unübersichtliche Welt der Knotentheorie bringen.

Schuhe binden ist leicht. Aber kann man den Schleifenknoten auch dann wieder völlig aufdröseln, wenn die beiden Enden des Schnürsenkels miteinander verklebt wurden – und zwar ohne Schere? So sehen typische Fragen aus der Knotentheorie aus, vielleicht einer der anschaulichsten, sicher aber einer der kompliziertesten Regionen der Mathematik. Denn die meisten großen Probleme der Knotentheorie sind ungelöst, obwohl die Theorie schon 150 Jahre alt ist. Wie kann man geschickt Ordnung ins Durcheinander der Knoten bringen? Gibt es zum Beispiel einen »Knotenfingerabdruck«, der jedem Knoten eine unverwechselbare Kennzahl zuordnet? Kann man Knoten effektiv und schnell vereinfachen? Wie schnell geht das überhaupt?

Zumindest bezüglich der letzten beiden offenen Fragen herrscht Aufregung in der Knotentheorie: Im vergangenen Oktober hat Chad Musick, ein Doktorand an der University Nagoya in Japan, einen Aufsatz mit dem Titel Recognizing trivial links in polynomial time vorgelegt. Darin könnte eine wissenschaftliche Bombe stecken: Musick hofft, eine Methode gefunden zu haben, mit der man entscheiden kann, ob ein Knoten mit zusammengeklebten Enden eigentlich ein »Unknoten« ist – ob er sich zu einem einfachen Schnurring entwirren lässt. Das Revolutionäre an Musicks Methode ist ihre Geschwindigkeit: »Polynomiale Zeit« ist der mathematische Ausdruck für Highspeed. Wenn ein Algorithmus ein Problem in polynomialer Zeit löst, dann braucht er für größere Probleme nicht dramatisch – also zum Beispiel exponentiell – mehr Zeit als für kleinere, sondern sein Zeitbedarf lässt sich durch ein Polynom nach oben beschränken.

Die Knotentheorie boomt erst seit einigen Jahren. Während das Zentralblatt MATH, eines der Referenzorgane der Mathematik, im Jahr 1980 weltweit noch 87 mathematische Arbeiten zum Thema zählte, waren es für 2010 schon 364 – es erscheint also praktisch täglich ein Paper, Sonntage eingeschlossen. Aber es dauert mitunter Jahre, bis ein Beweis allgemein akzeptiert wird – selbst in dem überschaubaren Bereich, wo fast jeder jeden kennt.

Und so wird auch die Arbeit von Musick seit Monaten unter die Lupe genommen – und die Spannung ist groß. »Ich habe das Original gelesen und finde es aufregend. Ich bin aber noch nicht zu dem Schluss gekommen, ob man es glauben kann oder nicht«, sagt Colin Adams vom Williams College in Massachusetts, einer der bekannten Knotentheoretiker, zu Musicks Ergebnis.

Dass die Knotentheorie nach vielen Jahren Dornröschenschlaf in den letzten Jahrzehnten erwachte, hängt auch mit einigen neueren Entdeckungen zusammen. Zuvor bewiesen Knotentheoretiker zum Beispiel mühevoll, dass der Kleeblatt-Knoten und sein Spiegelbild unterschiedliche Knoten sind. In der Praxis arbeiteten sie oft wie Botaniker, die Funde aus der Botanisiertrommel per Pflanzenpresse für Herbarien aufbereiten: Sie quetschten die Knoten in Gedanken platt, zu sogenannten Knotendiagrammen. Problem: Ein Knoten kann viele verschiedene Diagramme besitzen, je nachdem, wie viel man vor dem Plattdrücken an ihm herumgezupft und wie man ihn in die Presse gelegt hat.

Neue Kartierung der Knoten

Man will aber eigentlich nur jene Diagramme eines Knotens untersuchen, die ihn mit möglichst wenigen Überschneidungen repräsentieren. Doch wie soll man diese finden und voneinander unterscheiden? Antwort: Mit Tricks aus der Topologie – und auch das klappt inzwischen ganz gut. 1998 traten zwei Teams von amerikanischen Mathematikern gegeneinander an, um alle Knoten mit bis zu 16 Überschneidungen zu katalogisieren. Sie arbeiteten unabhängig voneinander mit verschiedenen mathematischen Methoden – und kamen zu exakt demselben Ergebnis: einer Liste von 1.701.936 Knotendiagrammen, die alle unterschiedliche Knoten repräsentieren.

Um solche Projekte zu erleichtern, entwickelte in den achtziger Jahren der Neuseeländer Vaughan Jones ein System, jedem Knotendiagramm ein Polynom zuzuordnen. Für diese »Jones-Polynome« erhielt er 1990 die Fields-Medaille, den »Nobelpreis« der Mathematik. Ob Jones-Polynome tatsächlich eindeutige Fingerabdrücke für Knoten aufweisen, ist zwar noch immer unklar – doch immerhin haben das Jones-Polynom und seine Verallgemeinerungen eine regelrechte Revolution in der Knotentheorie angezettelt. »Man konnte damit einige alte offene Fragen der Knotentheorie lösen«, sagt Colin Adams. »Zum Beispiel das Problem, die Kreuzungszahl eines Knotens zu finden, also die Zahl an Überschneidungen, die man ändern muss, um einen Knoten zum Unknoten werden zu lassen.« Diese Kreuzungszahl könnte ganz praktischen Nutzen in der Biologie haben: Die DNA im Kern einer Zelle ist kompliziert verknotet. Damit sie transkribiert und rekombiniert werden könne, zerschneide man sie gezielt mithilfe von Enzymen, erklärt Adams. »Ein Verständnis der Überschneidungen und Kreuzungszahl könnte daher in der Medizin Anwendung finden.«

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Kommentare

44 Kommentare Seite 1 von 6 Kommentieren

Soso...

Das ist ja alles schön und gut. Ich will der Knotentheorie ihre Existenzberechtigung nicht absprechen. Aber in einem Artikel über ein so speziele Thema wäre ein Hinweis auf die Anwendungsbezogenheit dieser Disziplin sicherlich nicht verkehrt gewesen. So erscheint das Ganze doch extrem überflüssig und uninteressant. Wobei man damit der Knotentheorie mit Sicherheit Unrecht tut.

praktische Anwendungen

Ich kenne einen studierten Mathematiker der zwar in der Lage ist alles mögliche in der Theorie zu berechnen, aber in einfachen praktischen Dingen vollkommen versagt. Zum Beispiel sollte er dem Hund einfach einen Napf Wasser hinstellen. Ihm fiel nicht auf, daß das arme Tier, an der Kette liegend, nicht ans Wasser gelangen konnte, weil der Napf einfach zu weit war (was jedem anderen aufgefallen ist). Das Problem vieler Mathematiker ist ein gewisser Tunnelblick. Bei vielen ist es geradezu verpönt nach praktischen Anwendungsmöglichkeiten zu fragen. Dann bekommt man mitunter zur Antwort, daß die praktische Seite keine Rolle spiele, es komme auf die Schönheit der Mathematik an.