MathematikIst der Knoten geplatzt?

Unter Mathematikern herrscht freudige Aufregung. Eine neue Theorie könnte Ordnung in die unübersichtliche Welt der Knotentheorie bringen. von Andreas Loos

Schuhe binden ist leicht. Aber kann man den Schleifenknoten auch dann wieder völlig aufdröseln, wenn die beiden Enden des Schnürsenkels miteinander verklebt wurden – und zwar ohne Schere? So sehen typische Fragen aus der Knotentheorie aus, vielleicht einer der anschaulichsten, sicher aber einer der kompliziertesten Regionen der Mathematik. Denn die meisten großen Probleme der Knotentheorie sind ungelöst, obwohl die Theorie schon 150 Jahre alt ist. Wie kann man geschickt Ordnung ins Durcheinander der Knoten bringen? Gibt es zum Beispiel einen »Knotenfingerabdruck«, der jedem Knoten eine unverwechselbare Kennzahl zuordnet? Kann man Knoten effektiv und schnell vereinfachen? Wie schnell geht das überhaupt?

Zumindest bezüglich der letzten beiden offenen Fragen herrscht Aufregung in der Knotentheorie: Im vergangenen Oktober hat Chad Musick, ein Doktorand an der University Nagoya in Japan, einen Aufsatz mit dem Titel Recognizing trivial links in polynomial time vorgelegt. Darin könnte eine wissenschaftliche Bombe stecken: Musick hofft, eine Methode gefunden zu haben, mit der man entscheiden kann, ob ein Knoten mit zusammengeklebten Enden eigentlich ein »Unknoten« ist – ob er sich zu einem einfachen Schnurring entwirren lässt. Das Revolutionäre an Musicks Methode ist ihre Geschwindigkeit: »Polynomiale Zeit« ist der mathematische Ausdruck für Highspeed. Wenn ein Algorithmus ein Problem in polynomialer Zeit löst, dann braucht er für größere Probleme nicht dramatisch – also zum Beispiel exponentiell – mehr Zeit als für kleinere, sondern sein Zeitbedarf lässt sich durch ein Polynom nach oben beschränken.

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Die Knotentheorie boomt erst seit einigen Jahren. Während das Zentralblatt MATH, eines der Referenzorgane der Mathematik, im Jahr 1980 weltweit noch 87 mathematische Arbeiten zum Thema zählte, waren es für 2010 schon 364 – es erscheint also praktisch täglich ein Paper, Sonntage eingeschlossen. Aber es dauert mitunter Jahre, bis ein Beweis allgemein akzeptiert wird – selbst in dem überschaubaren Bereich, wo fast jeder jeden kennt.

Und so wird auch die Arbeit von Musick seit Monaten unter die Lupe genommen – und die Spannung ist groß. »Ich habe das Original gelesen und finde es aufregend. Ich bin aber noch nicht zu dem Schluss gekommen, ob man es glauben kann oder nicht«, sagt Colin Adams vom Williams College in Massachusetts, einer der bekannten Knotentheoretiker, zu Musicks Ergebnis.

Dass die Knotentheorie nach vielen Jahren Dornröschenschlaf in den letzten Jahrzehnten erwachte, hängt auch mit einigen neueren Entdeckungen zusammen. Zuvor bewiesen Knotentheoretiker zum Beispiel mühevoll, dass der Kleeblatt-Knoten und sein Spiegelbild unterschiedliche Knoten sind. In der Praxis arbeiteten sie oft wie Botaniker, die Funde aus der Botanisiertrommel per Pflanzenpresse für Herbarien aufbereiten: Sie quetschten die Knoten in Gedanken platt, zu sogenannten Knotendiagrammen. Problem: Ein Knoten kann viele verschiedene Diagramme besitzen, je nachdem, wie viel man vor dem Plattdrücken an ihm herumgezupft und wie man ihn in die Presse gelegt hat.

Neue Kartierung der Knoten

Man will aber eigentlich nur jene Diagramme eines Knotens untersuchen, die ihn mit möglichst wenigen Überschneidungen repräsentieren. Doch wie soll man diese finden und voneinander unterscheiden? Antwort: Mit Tricks aus der Topologie – und auch das klappt inzwischen ganz gut. 1998 traten zwei Teams von amerikanischen Mathematikern gegeneinander an, um alle Knoten mit bis zu 16 Überschneidungen zu katalogisieren. Sie arbeiteten unabhängig voneinander mit verschiedenen mathematischen Methoden – und kamen zu exakt demselben Ergebnis: einer Liste von 1.701.936 Knotendiagrammen, die alle unterschiedliche Knoten repräsentieren.

Um solche Projekte zu erleichtern, entwickelte in den achtziger Jahren der Neuseeländer Vaughan Jones ein System, jedem Knotendiagramm ein Polynom zuzuordnen. Für diese »Jones-Polynome« erhielt er 1990 die Fields-Medaille, den »Nobelpreis« der Mathematik. Ob Jones-Polynome tatsächlich eindeutige Fingerabdrücke für Knoten aufweisen, ist zwar noch immer unklar – doch immerhin haben das Jones-Polynom und seine Verallgemeinerungen eine regelrechte Revolution in der Knotentheorie angezettelt. »Man konnte damit einige alte offene Fragen der Knotentheorie lösen«, sagt Colin Adams. »Zum Beispiel das Problem, die Kreuzungszahl eines Knotens zu finden, also die Zahl an Überschneidungen, die man ändern muss, um einen Knoten zum Unknoten werden zu lassen.« Diese Kreuzungszahl könnte ganz praktischen Nutzen in der Biologie haben: Die DNA im Kern einer Zelle ist kompliziert verknotet. Damit sie transkribiert und rekombiniert werden könne, zerschneide man sie gezielt mithilfe von Enzymen, erklärt Adams. »Ein Verständnis der Überschneidungen und Kreuzungszahl könnte daher in der Medizin Anwendung finden.«

Leserkommentare
  1. Seemannsknoten sind zweckmäßig und leicht zu lösen.
    Ob man dafür einen Formel braucht?

    • niebla
    • 26. November 2012 20:33 Uhr

    Das ist ja alles schön und gut. Ich will der Knotentheorie ihre Existenzberechtigung nicht absprechen. Aber in einem Artikel über ein so speziele Thema wäre ein Hinweis auf die Anwendungsbezogenheit dieser Disziplin sicherlich nicht verkehrt gewesen. So erscheint das Ganze doch extrem überflüssig und uninteressant. Wobei man damit der Knotentheorie mit Sicherheit Unrecht tut.

    2 Leserempfehlungen
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    • Gestath
    • 27. November 2012 7:48 Uhr

    Mal davon abgesehen, dass im Artikel selbst der Verweis auf DNA gegeben wurde, hier noch weitere Anwendungsbeispiele:

    „Mittlerweile existieren aber eine Reihe wichtiger Anwendungen, etwa in der Biochemie bzw. Strukturbiologie, mit denen überprüft werden kann, ob komplizierte Faltungen von Proteinen mit anderen Proteinen übereinstimmen. Ähnliches gilt für die DNA. Weitere aktuelle Anwendungen gibt es in der Polymerphysik. Eine wichtige Stellung nimmt die Knotentheorie in der modernen theoretischen Physik ein, wo es etwa um Pfade in Feynmandiagrammen geht.“

    zu finden unter http://de.wikipedia.org/w...

    Klar, dass sind auch nur wissenschaftliche Gebiete, aber da kann den Sinn vielleicht ein wenig eher erkennen …

    • FranL.
    • 26. November 2012 20:34 Uhr

    wenn sie als verschrobene Sonderlinge betrachtet werden.

    Hilft ihnen die Theorie beim Schuhezubinden, oder brauchen sie dafür länger als andere Menschen, weil sie erst einmal im Kopf die Formel für den perfekten Knoten aufstellen und lösen müssen?

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    ...der etwas Ahnung Physik, Technik, Informatik hat, betrachtet die Mathematiker als verschrobene Sonderlinge. Auch Einstein brauchte Mathematiker, um seine Relativitätstheorie konsistent zu formulieren. Ebenso verhielt es sich in der Quantenphysik. Und was wäre die Informatik ohne Alan Turing, welcher auch "nebenbei" mathematisch den deutschen U-Boot-Krieg '39 - '45 "vermasselt" hat (Enigma)? Und jetzt könnte ich noch mit der Topologie von Datenbanken und das Internet überhaupt anfangen, usw, usf.

    • Zack34
    • 27. November 2012 9:53 Uhr

    ... Sie kennen einen Mathematiker, soso. Dumm nur, dass Sie ohne diese verschrobenen Leute ohne Sinn für´s Praktische kaum eine Silbe hier posten, ja noch nicht einmal ihre grundlegenden Alltagssachen erledigen könnten.

    Menschen, die sich Wissen und Bewusstsein darüber angeeignet haben, vermeiden Pauschalaussagen aus einem einfachen Grund: sie haben mit jeder Vertiefung in neue Gebiete erfahren, wie wenig sie eigentlich wissen, und wie viel noch unerforscht vor uns liegt.

    • keibe
    • 26. November 2012 21:04 Uhr

    dass die Knotentheorie auch eine friedliche Lösung des seinerzeit gewaltsam gelösten Knotenrätsels von Gordon

    http://de.wikipedia.org/w...

    zu liefern vermag; Stichwort: Deichselnagel.

    Eine Leserempfehlung
    • ZNZ
    • 26. November 2012 21:11 Uhr

    denn ohne es zu gewollt zu haben oder voraussehen zu können.

    Vor noch nicht all zu langer Zeit, galten Mathematiker, die sich mit Primzahlen befassten, als extrem komische Vögel, die gänzlich unnütze Dinge taten. Seit die Verschlüsselungstechnologie eine Rolle spielt fragt niemand mehr: Jetzt baut das Internet auf den Primzahlen und es werden mit ihnen Kriege geführt.

    Weiteres Beispiel: In den ersten Fragestellungen der Graphentheorie fragte man sich, wie man eine Stadt so durchqueren kann, dass jede der vorhandenen 7 Brücken nur einmal genutzt wird und man trotzdem am Ausgangspunkt zurück kommt - mehr als eine Spielerei war das zunächst sicherlich nicht. Heute basiert ein Großteil der Optimierung und damit der Wirtschaft auf der aus diesen ersten Fragestellungen entstandenen Theorie.

    Wer weiß, was aus den Knoten einmal wird - möchte auf dabei auf einen vorzüglichen Text von Enzensberger hinweisen:

    http://www.mathe.tu-freib...

    14 Leserempfehlungen
    • ZNZ
    • 26. November 2012 21:23 Uhr

    Noch als Ergänzung: Ich halte es nicht für einen Mangel des Textes, dass er nicht mehr auf mögliche Anwendungen hinweist. Ich vermute einfach mal, dass mit der Verknotung der DNA der eventuell naheliegenste eventuelle Nutzen (sicher ist das ja anscheinend auch noch nicht, dass die Knoten da irgendwie helfen) der einzige plastische und leicht verständliche Anwendungsbereich. Ist halt Mathematik...

    Eine Leserempfehlung
  2. ...der etwas Ahnung Physik, Technik, Informatik hat, betrachtet die Mathematiker als verschrobene Sonderlinge. Auch Einstein brauchte Mathematiker, um seine Relativitätstheorie konsistent zu formulieren. Ebenso verhielt es sich in der Quantenphysik. Und was wäre die Informatik ohne Alan Turing, welcher auch "nebenbei" mathematisch den deutschen U-Boot-Krieg '39 - '45 "vermasselt" hat (Enigma)? Und jetzt könnte ich noch mit der Topologie von Datenbanken und das Internet überhaupt anfangen, usw, usf.

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    • FranL.
    • 26. November 2012 21:42 Uhr

    Ich kenne einen studierten Mathematiker der zwar in der Lage ist alles mögliche in der Theorie zu berechnen, aber in einfachen praktischen Dingen vollkommen versagt. Zum Beispiel sollte er dem Hund einfach einen Napf Wasser hinstellen. Ihm fiel nicht auf, daß das arme Tier, an der Kette liegend, nicht ans Wasser gelangen konnte, weil der Napf einfach zu weit war (was jedem anderen aufgefallen ist). Das Problem vieler Mathematiker ist ein gewisser Tunnelblick. Bei vielen ist es geradezu verpönt nach praktischen Anwendungsmöglichkeiten zu fragen. Dann bekommt man mitunter zur Antwort, daß die praktische Seite keine Rolle spiele, es komme auf die Schönheit der Mathematik an.

    • FranL.
    • 26. November 2012 21:42 Uhr

    Ich kenne einen studierten Mathematiker der zwar in der Lage ist alles mögliche in der Theorie zu berechnen, aber in einfachen praktischen Dingen vollkommen versagt. Zum Beispiel sollte er dem Hund einfach einen Napf Wasser hinstellen. Ihm fiel nicht auf, daß das arme Tier, an der Kette liegend, nicht ans Wasser gelangen konnte, weil der Napf einfach zu weit war (was jedem anderen aufgefallen ist). Das Problem vieler Mathematiker ist ein gewisser Tunnelblick. Bei vielen ist es geradezu verpönt nach praktischen Anwendungsmöglichkeiten zu fragen. Dann bekommt man mitunter zur Antwort, daß die praktische Seite keine Rolle spiele, es komme auf die Schönheit der Mathematik an.

    Antwort auf "Niemand..."
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    ...ist doch das schöne an der Mathematik. Da wird i.A. nicht zielgerichtet anwendungsorientiert nachgedacht. Wenn man sie meiner Meinung nach "richtig" betreibt. Und irgendwann "plötzlich" werden so manche "unnütze" Ergebnisse von Naturwissenschaftlern und Technikern nachgefragt. Ja, Mathematik kann auch auch Kunst und Philosophie sein, auf allerhöchstem Niveau.

    Eine kleine Buchempfehlung:

    http://en.wikipedia.org/wiki/The_Emperor's_New_Mind

    Und: Verschrobene Leute gibt es doch in jedem Metier.

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