Ist unsere Welt dreidimensional? Eigentlich nicht. Schon ein digitales Urlaubsfoto auf dem Computerbildschirm kann man als ein mindestens fünfdimensionales Objekt betrachten: Jeder Bildpunkt hat zwei Koordinaten, die seine Position angeben, sowie eine Farbe, die sich aus drei Werten zusammensetzt, dem Rot-, Grün- und Blauanteil. So gesehen, wird aus dem flachen Urlaubsfoto plötzlich eine Punktwolke in einem fünfdimensionalen Raum. Und von wegen Länge, Breite, Höhe: Die Dimensionen werden hier obendrein eine reichlich bunte Angelegenheit.

Tatsächlich benutzen Mathematiker, wenn sie vier- oder höherdimensionale Räume visualisieren sollen, bisweilen Farbe als "Ersatzdimension", um das Unvorstellbare bildlich vorstellbar werden zu lassen. Denn eines ist trotz aller Hilfsmittel sicher: Mehr als drei Dimensionen kann man nicht so leicht imaginieren. Der Mathematiker Vašek Chvátal warnt die Leser seines Lehrbuchs über Lineare Programmierung sogar mit einem Augenzwinkern: "Versuchen Sie niemals, sich n-dimensionale Objekte für n größer oder gleich 4 vorzustellen. Das ist nicht nur von vornherein zum Scheitern verurteilt – es könnte auch der geistigen Gesundheit schaden."

Dennoch käme kein moderner Mathematiker auf die Idee, nur noch im Dreidimensionalen zu forschen. Mathematik findet heute selbstverständlich in vielen Dimensionen statt. Beispiel: Werden die digitalen Urlaubsfotos per WLAN übertragen, dann passieren Übertragungsfehler, die wieder ausgebügelt werden müssen. Dazu zerlegt man das Bild in Pakete – und jedes dieser Pakete wird als ein Punkt in einem Raum begriffen, der einige Dutzend Dimensionen besitzt.

Noch vor hundert Jahren hätten viele Mathematiker damit nicht entspannt umgehen können. Erst 1913 definierte der niederländische Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer, was eine Dimension ist, und legte damit den Grundstock für eine systematische Dimensionstheorie.

Zuvor hatte man Dimension nur intuitiv als Länge, Breite und Höhe begriffen. Vier Dimensionen waren durchaus schon diskutiert worden, die vierte war dann aber rasch in der Schublade verschwunden. "Ein schlauer Bekannter von mir glaubt, dass man eine Zeitspanne als vierte Dimension betrachten kann; diese Idee mag man kritisieren, aber sie besitzt meiner Ansicht nach einen gewissen Wert, und sei es, dass sie neu ist", schrieb D’Alembert 1754 in Diderots berühmter Enzyklopädie unter dem Stichwort "Dimension", lange vor Einsteins vierdimensionaler Raumzeit.

Doch im Alltagsgeschäft blieb die Mathematik bis zum Ende des 19. Jahrhunderts fast ausschließlich dreidimensional. Motto: Es kann nicht sein, was man nicht denken kann. 1827 etwa entdeckte August Ferdinand Möbius, Professor in Leipzig und Entdecker des berühmten gewundenen "unendlichen" Bandes, dass man zweidimensionale Körper zwar nicht durch eine Drehung in der Ebene, wohl aber durch eine Drehung im Raum in ihr Spiegelbild verwandeln kann – was jeder weiß, der schon mal eine Overheadfolie verkehrt herum a uf dem Projektor platziert hat. Möbius erkannte, dass das ganz analog auch mit dreidimensionalen Körpern funktioniert. Dreht man sie geschickt in vier Dimensionen, erhält man eine dreidimensionale Spiegelung. Aber dann verzagte der Denker: "Da aber ein solcher Raum nicht gedacht werden kann, so ist auch die Coincidenz in diesem Falle unmöglich." Basta und ad acta.

Die Dimension kann auch gebrochene Werte annehmen

Erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts begann man, das Denkverbot aufzubrechen. Man war aufs Neue auf die vierte Dimension gestoßen. Der Mathematiker Georg Cantor hatte eine Abbildung entdeckt, die eine Linie von der Länge 1 auf Würfel in beliebiger Dimension mit Kantenlänge 1 abbildet, und zwar so, dass jedem Punkt im Würfel genau ein Bild in der Strecke entspricht. Ergo musste eine eindimensionale Strecke dieselbe Anzahl Punkte enthalten wie ein zweidimensionales Quadrat, ein dreidimensionaler Würfel, ein vierdimensionaler Hyperwürfel und so weiter. Offenkundig hatte die Dimension mit dem Verb "messen" – so die ursprüngliche Bedeutung des Wortstammes – nur bedingt etwas zu tun. Ungläubig schrieb Cantor seinem Freund Richard Dedekind: "Ich kann, so lange Sie mir nicht zugestimmt haben, nur sagen: Je le vois, mais je ne le crois pas." – "Ich sehe es, aber ich glaube es nicht."