Mathematik : Mehr als Länge, Breite, Höhe

Vor hundert Jahren wagten Mathematiker erstmals, mit mehr als drei Dimensionen zu rechnen – heute sind solche unvorstellbaren Räume für sie ganz alltäglich.

Ist unsere Welt dreidimensional? Eigentlich nicht. Schon ein digitales Urlaubsfoto auf dem Computerbildschirm kann man als ein mindestens fünfdimensionales Objekt betrachten: Jeder Bildpunkt hat zwei Koordinaten, die seine Position angeben, sowie eine Farbe, die sich aus drei Werten zusammensetzt, dem Rot-, Grün- und Blauanteil. So gesehen, wird aus dem flachen Urlaubsfoto plötzlich eine Punktwolke in einem fünfdimensionalen Raum. Und von wegen Länge, Breite, Höhe: Die Dimensionen werden hier obendrein eine reichlich bunte Angelegenheit.

Tatsächlich benutzen Mathematiker, wenn sie vier- oder höherdimensionale Räume visualisieren sollen, bisweilen Farbe als "Ersatzdimension", um das Unvorstellbare bildlich vorstellbar werden zu lassen. Denn eines ist trotz aller Hilfsmittel sicher: Mehr als drei Dimensionen kann man nicht so leicht imaginieren. Der Mathematiker Vašek Chvátal warnt die Leser seines Lehrbuchs über Lineare Programmierung sogar mit einem Augenzwinkern: "Versuchen Sie niemals, sich n-dimensionale Objekte für n größer oder gleich 4 vorzustellen. Das ist nicht nur von vornherein zum Scheitern verurteilt – es könnte auch der geistigen Gesundheit schaden."

Dennoch käme kein moderner Mathematiker auf die Idee, nur noch im Dreidimensionalen zu forschen. Mathematik findet heute selbstverständlich in vielen Dimensionen statt. Beispiel: Werden die digitalen Urlaubsfotos per WLAN übertragen, dann passieren Übertragungsfehler, die wieder ausgebügelt werden müssen. Dazu zerlegt man das Bild in Pakete – und jedes dieser Pakete wird als ein Punkt in einem Raum begriffen, der einige Dutzend Dimensionen besitzt.

Noch vor hundert Jahren hätten viele Mathematiker damit nicht entspannt umgehen können. Erst 1913 definierte der niederländische Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer, was eine Dimension ist, und legte damit den Grundstock für eine systematische Dimensionstheorie.

Zuvor hatte man Dimension nur intuitiv als Länge, Breite und Höhe begriffen. Vier Dimensionen waren durchaus schon diskutiert worden, die vierte war dann aber rasch in der Schublade verschwunden. "Ein schlauer Bekannter von mir glaubt, dass man eine Zeitspanne als vierte Dimension betrachten kann; diese Idee mag man kritisieren, aber sie besitzt meiner Ansicht nach einen gewissen Wert, und sei es, dass sie neu ist", schrieb D’Alembert 1754 in Diderots berühmter Enzyklopädie unter dem Stichwort "Dimension", lange vor Einsteins vierdimensionaler Raumzeit.

Doch im Alltagsgeschäft blieb die Mathematik bis zum Ende des 19. Jahrhunderts fast ausschließlich dreidimensional. Motto: Es kann nicht sein, was man nicht denken kann. 1827 etwa entdeckte August Ferdinand Möbius, Professor in Leipzig und Entdecker des berühmten gewundenen "unendlichen" Bandes, dass man zweidimensionale Körper zwar nicht durch eine Drehung in der Ebene, wohl aber durch eine Drehung im Raum in ihr Spiegelbild verwandeln kann – was jeder weiß, der schon mal eine Overheadfolie verkehrt herum a uf dem Projektor platziert hat. Möbius erkannte, dass das ganz analog auch mit dreidimensionalen Körpern funktioniert. Dreht man sie geschickt in vier Dimensionen, erhält man eine dreidimensionale Spiegelung. Aber dann verzagte der Denker: "Da aber ein solcher Raum nicht gedacht werden kann, so ist auch die Coincidenz in diesem Falle unmöglich." Basta und ad acta.

Die Dimension kann auch gebrochene Werte annehmen

Erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts begann man, das Denkverbot aufzubrechen. Man war aufs Neue auf die vierte Dimension gestoßen. Der Mathematiker Georg Cantor hatte eine Abbildung entdeckt, die eine Linie von der Länge 1 auf Würfel in beliebiger Dimension mit Kantenlänge 1 abbildet, und zwar so, dass jedem Punkt im Würfel genau ein Bild in der Strecke entspricht. Ergo musste eine eindimensionale Strecke dieselbe Anzahl Punkte enthalten wie ein zweidimensionales Quadrat, ein dreidimensionaler Würfel, ein vierdimensionaler Hyperwürfel und so weiter. Offenkundig hatte die Dimension mit dem Verb "messen" – so die ursprüngliche Bedeutung des Wortstammes – nur bedingt etwas zu tun. Ungläubig schrieb Cantor seinem Freund Richard Dedekind: "Ich kann, so lange Sie mir nicht zugestimmt haben, nur sagen: Je le vois, mais je ne le crois pas." – "Ich sehe es, aber ich glaube es nicht."

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Kommentare

94 Kommentare Seite 1 von 8 Kommentieren

Nicht ganz

Ich stimme mit Ihnen darin überein, dass die Mathematik unter fürchterlichen Imageproblemen leidet.

Dass fängt beim bösen Mathelehrer an und hört bei der Bemerkung auf:

wozu verstehen was der cosinus ist, ich verschicke meine e-mail per klikk?!

Jedoch hat Hilbert versucht die mathematische Wissenschaft auf wahrheitsgeprüfte Axiome zu stellen, um mathematische Erkenntnis und alle anderen auf ihr aufbauenden Wissenschaften ein für alle mal auf eine wahrheitsgeprüfte Grundlage zu stellen.

Dass war seine Absicht.

Sie misslang: Gödel erbrachte den Gegenbeweis.

Jeder Mathematiker heute weiss um die Begrenztheit seiner Erkenntnis: er kann nicht gehaupten, dass alles was er tun würde letztendlich absolut wahr sei.

Die Mathematiker halten sich daran fest, dass ihre Mathematik angewandt werden kann und dass es funktioniert.

Jedoch kann der absolute Wahrheitsanspruch nicht eingelöst werden.

Und dass macht die Mathematik doch wieder sympatisch.

Dieser Aspekt sollte vielmehr verbreitet werden um Vorurteile gegenüber den Naturwissenschaften ab bauen zu können.

Und überhaupt alles in rechte Licht rücken zu können.

Deswegen plädiere ich noch mals für ein Fach wie Mathematikgeschichte.

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"Wieso sollte ein Mathematiker das tun?"

Wenn er möchte das der Rest der Welt ihn versteht muss er sich auch darum bemühen. Wenn er sich nicht bemüht brauch er sich auch nicht wundern das er nicht verstanden wird. Dies Aufgabe wird ihm niemand abnehmen.

"Wer an der Hochschule mit Mathematik umgeht"

Nur in sehr wenigen Fachbereichen geht man in der Hochschule mit Mathematik um. In den meisten Fachbereichen rechnet man einfach, da mehr nicht notwendig ist.

"Da haben Sie irgendwas falsch verstanden.- Ich bezog mich aufdie Schule."
Dazu habe ich schon einen anderen Kommentar geschrieben. Die Schule soll aufs Studium vorbereiten und da ist Mathematik nur in wenigen Fachbereichen wirklich notwendig. In den meisten ist Rechnen vollkommen ausreichend.

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"Ja, und manche möchten halt lieber schlafen, aber trotzdem irgendwie intelligent sein. Das passt dann halt nicht. Arbeiten muss jeder."

Arbeiten müssen sie in jedem Fachgebiet. Mathematik ist da keine Ausnahme. Wenn allerdings kein Interesse an Mathematik da ist und niemand bereit ist es zu wecken, sie scheinen dazu ja nicht bereit zu sein, dann wird man seine Energie woanders investieren.
So ist das Leben.

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"Prägebegriff ist die Sprache und als solchen verstehe ich auch die Mathematik. Die Universellste, die es überhaupt gibt, nach unserem Ermessen."

Das erzählen mir die Physiker auch von den Naturgesetzen und die Chemiker vom Periodensystem und die Biologen von der DNA. Und am Ende gehört Sprache aus gutem Grund zu den Geisteswissenschaften und kommt ohne Mathematik aus.

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"Die Mathematik wurde einst geschaffen in ihrem Bemühen Dinge miteinander zu vergleichen [...]Das it es auch, was eine Sprache ausmacht. Zu unterscheiden und Dingen einen Wert beizumessen."

Sprache wurde nicht geschaffen um zu vergleichen sondern um komplexe Informationen auszutauschen. Ein Vergleich ist dafür nicht notwendig, sondern nur eine Abgrenzung.
Oder anders gesagt für Sprache muss man nicht wissen welche Unterschiede es zischen verschiedenen Dingen gibt (Vergleich) sondern nur das sie unterschiedlich sind (Abgrenzung).

"und Dingen einen Wert beizumessen"
Wie definieren sie in diesem Zusammenhang den Begriff "Wert"?
Die umgangssprachliche Definition von Wert passt nämlich nicht. Tatsächlich ordnet Sprache jedem Ding ein individuelles sprachliches Symbol zu.

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"Schön, und? Aber was haben alle gemeinsam? Richtig. Mathematik, ohne die da nämlich gar nichts läuft."

Und? Deswegen funktioniert die Sprache auf Basis des Periodensystems keineswegs schlechter. Wahrscheinlich funktioniert sie sogar besser, da sie eine direkte Widerspiegelung in der Realität hat.
Am Ende ist die beste Sprache die, welche am besten verstanden wird und da bekleckert sich die Mathematik nicht gerade mit Ruhm.

"Erstens wird Mathematik zu den Geisteswissenschaften gezählt"
Je nach Mathematiker den sie fragen bekommen sie da eine ander Antwort. Hängt immer davon ab um was es gerade geht. Und die meisten wären am liebsten eh eine eigene Wissenschaft für sich.

"Und ja, Mathematik ist eine Sprache und zwar die Universellste, die wir kennen."
Und die so gut wie niemand spricht, oder sie gar versteht.

"Ausser dass Sie offenbar mit einem Argwohn und Abneigung gegen diese Disziplin behaftet sind,"

Nicht im geringsten. Die Disziplin hat Erstaunliches vollbracht und wird nach meiner Meinung nicht genug wertgeschätzt. Einige Mitglieder ihrer Disziplin glänzen aber durch ein erstaunliches Maß an Überheblichkeit, den sie ist ja die universellste Sprache und alle anderen Wissenschaften beruhen auf ihr uns sind ohne sie gar nichts.

Im berühmten Elfenbeinturm verliert man schonmal den Bezug zur Realität und die notwendige Bodenhaftung geht verloren. Passiert.

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"der begriff der information setzt bereits den akt des vergleichens, verallgemeinerns und damit der begriffsbildung voraus"

Welche Definition von Information verwenden sie?
Es gibt da ziemlich viele und wir verwenden offensichtlich unterschiedliche.

Aber um mal den Unterschied zwischen MAthe und Sprache klar zu machen:

"Unter Sprache versteht man die Menge, die als Elemente alle komplexen Systeme der Kommunikation beinhaltet."

Es gibt noch ein paar mehr Definitionen, aber alle leiten sich ausschließlich aus komplexer Kommunikation her.

Für Mathematik gibt es sehr viele Definitionen, aber nicht eine einzige beschreibt sie als ein "komplexes System der Kommunikation". "Komplexes System der Kommunikation" mögen hier und da Forschungsgegenstand sein, aber das war es auch schon.
Nicht ganz umsonst musste die Informatik eigene Sprachen entwickeln. Die Mathematik hat anscheinend nicht alle Anforderungen an Sprache erfüllt.
Das zeigt das man mit den Mitteln der Mathematik Sprachen entwickeln kann, aber deswegen ist sie noch lange keine eigene Sprache.

Hier ist wie so oft der Wunsch man sie etwas besonderes Vater des Gedanken.

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"Der Komunikation dienen kann kann Sprache nur, weil sie ein System bildet."

Der Schluß ist also da Sprache ein System bildet und Mathematik ebenso, muss Mathematik Sprache sein. Korrekt?

"Darüberhinaus basiert auch eine Abgrenzung auf dem Vergleichen und Bewerten dessen, was nicht abgegrenzt werden soll."
Dann ist allein die Feststellung das Objekt 1 anders ist als Objekt 2 bereits Vergleich und Wertung?
Ich habe die Begriffe Vergleich und Wertung etwas anders aufgefasst, aber das erklärt mein Missverständnis.

An welcher Stelle dient dann Mathematik der Kommunikation zwischen Individuen?
Das ist schließlich der einzige Sinn und Zweck von Sprache.

Dazu wäre noch

zu erwähnen, dass Heyms Strukturtheorie der 12 dimensionalen Hyperraumdynamik (sehr spannende Sache, die sich in der Natur täglich wieder finden lässt!!) durch die Extrapolation in seine von ihm (weiter, neu) entwickelten aspektbezogenen Logik auf noch einer völlig anderen Dimension bestätigt wurde. Da ist das Wort Dimension nur noch im metaphorischen Sinne brauchbar.
Schade, dass Heym sich nicht mehr zu fraktalen Aspekten in der Dimensionalität äußern konnte...