MathematikMehr als Länge, Breite, Höhe

Vor hundert Jahren wagten Mathematiker erstmals, mit mehr als drei Dimensionen zu rechnen – heute sind solche unvorstellbaren Räume für sie ganz alltäglich. von Andreas Loos

Ist unsere Welt dreidimensional? Eigentlich nicht. Schon ein digitales Urlaubsfoto auf dem Computerbildschirm kann man als ein mindestens fünfdimensionales Objekt betrachten: Jeder Bildpunkt hat zwei Koordinaten, die seine Position angeben, sowie eine Farbe, die sich aus drei Werten zusammensetzt, dem Rot-, Grün- und Blauanteil. So gesehen, wird aus dem flachen Urlaubsfoto plötzlich eine Punktwolke in einem fünfdimensionalen Raum. Und von wegen Länge, Breite, Höhe: Die Dimensionen werden hier obendrein eine reichlich bunte Angelegenheit.

Tatsächlich benutzen Mathematiker, wenn sie vier- oder höherdimensionale Räume visualisieren sollen, bisweilen Farbe als "Ersatzdimension", um das Unvorstellbare bildlich vorstellbar werden zu lassen. Denn eines ist trotz aller Hilfsmittel sicher: Mehr als drei Dimensionen kann man nicht so leicht imaginieren. Der Mathematiker Vašek Chvátal warnt die Leser seines Lehrbuchs über Lineare Programmierung sogar mit einem Augenzwinkern: "Versuchen Sie niemals, sich n-dimensionale Objekte für n größer oder gleich 4 vorzustellen. Das ist nicht nur von vornherein zum Scheitern verurteilt – es könnte auch der geistigen Gesundheit schaden."

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Dennoch käme kein moderner Mathematiker auf die Idee, nur noch im Dreidimensionalen zu forschen. Mathematik findet heute selbstverständlich in vielen Dimensionen statt. Beispiel: Werden die digitalen Urlaubsfotos per WLAN übertragen, dann passieren Übertragungsfehler, die wieder ausgebügelt werden müssen. Dazu zerlegt man das Bild in Pakete – und jedes dieser Pakete wird als ein Punkt in einem Raum begriffen, der einige Dutzend Dimensionen besitzt.

Noch vor hundert Jahren hätten viele Mathematiker damit nicht entspannt umgehen können. Erst 1913 definierte der niederländische Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer, was eine Dimension ist, und legte damit den Grundstock für eine systematische Dimensionstheorie.

Zuvor hatte man Dimension nur intuitiv als Länge, Breite und Höhe begriffen. Vier Dimensionen waren durchaus schon diskutiert worden, die vierte war dann aber rasch in der Schublade verschwunden. "Ein schlauer Bekannter von mir glaubt, dass man eine Zeitspanne als vierte Dimension betrachten kann; diese Idee mag man kritisieren, aber sie besitzt meiner Ansicht nach einen gewissen Wert, und sei es, dass sie neu ist", schrieb D’Alembert 1754 in Diderots berühmter Enzyklopädie unter dem Stichwort "Dimension", lange vor Einsteins vierdimensionaler Raumzeit.

Doch im Alltagsgeschäft blieb die Mathematik bis zum Ende des 19. Jahrhunderts fast ausschließlich dreidimensional. Motto: Es kann nicht sein, was man nicht denken kann. 1827 etwa entdeckte August Ferdinand Möbius, Professor in Leipzig und Entdecker des berühmten gewundenen "unendlichen" Bandes, dass man zweidimensionale Körper zwar nicht durch eine Drehung in der Ebene, wohl aber durch eine Drehung im Raum in ihr Spiegelbild verwandeln kann – was jeder weiß, der schon mal eine Overheadfolie verkehrt herum a uf dem Projektor platziert hat. Möbius erkannte, dass das ganz analog auch mit dreidimensionalen Körpern funktioniert. Dreht man sie geschickt in vier Dimensionen, erhält man eine dreidimensionale Spiegelung. Aber dann verzagte der Denker: "Da aber ein solcher Raum nicht gedacht werden kann, so ist auch die Coincidenz in diesem Falle unmöglich." Basta und ad acta.

Die Dimension kann auch gebrochene Werte annehmen

Erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts begann man, das Denkverbot aufzubrechen. Man war aufs Neue auf die vierte Dimension gestoßen. Der Mathematiker Georg Cantor hatte eine Abbildung entdeckt, die eine Linie von der Länge 1 auf Würfel in beliebiger Dimension mit Kantenlänge 1 abbildet, und zwar so, dass jedem Punkt im Würfel genau ein Bild in der Strecke entspricht. Ergo musste eine eindimensionale Strecke dieselbe Anzahl Punkte enthalten wie ein zweidimensionales Quadrat, ein dreidimensionaler Würfel, ein vierdimensionaler Hyperwürfel und so weiter. Offenkundig hatte die Dimension mit dem Verb "messen" – so die ursprüngliche Bedeutung des Wortstammes – nur bedingt etwas zu tun. Ungläubig schrieb Cantor seinem Freund Richard Dedekind: "Ich kann, so lange Sie mir nicht zugestimmt haben, nur sagen: Je le vois, mais je ne le crois pas." – "Ich sehe es, aber ich glaube es nicht."

Leserkommentare
  1. Mathematikgeschichte ist doch sehr interessant.

    Leider ist dass kein Schulfach. Ich glaube, eine Stunde Mathematikgeschichte in der Woche 1-2 Jahre lang so in der Sekundarstufe II könnten dass

    Interesse und den Zugang zur Mathematik für viele wecken und erleichtern.

    Durch die Mathemmatikgeschichte erhält die Mathematik leben, sozusagen.

    Denn gibt doch unter Mathematikern durchaus spannende Persönlichkeiten. Natürlich sind die meisten keine Polarfahrer... aber trotzdem durchaus interessante Menschen.

    Reine Mathematiker finden wahrscheinlich diesen Ansatz mehr schädlich als nützlich. Aber man sollte mal darüber nachdenken.

    Viele verlassen die Schule nur mit 3 Dimensionen im Kopf, es wurde mal erwähnt in meinem Mathemunterricht, man könne ja mal versuchen sich eine 4. Dimension vorzustellen, dass sei dann die Zeit.

    Wenn man Mathematikgeschichte unterrichten würde, dann könnte man dass ganze in einer breiteren Perspektive vermitteln.

    Ich habe mich auch schon oft gefragt warum man dass in Deutschland nicht tut?

    3 Leserempfehlungen
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    • Puka
    • 23. Juli 2013 10:12 Uhr

    Schulfach einzuführen, halte ich für verfehlt. Als didaktische Hinführung zum Thema, könnte es sicherlich eher greifen, man macht das gleiche ja im Prinzip auch mit der Literatur, und in Physik ist mir das in meiner Schulzeit natürlich auch schon begegnet. Schüler allerdings haben daran nicht immer das selbe Interesse wie Sie und ich. Bei dem Wort Geschichte verlieren, fürchte ich, viele sofort die Lust, weil sie den Bezug zu ihrer Lebenswirklichkeit nicht mehr erkennen.

    Wichtiger wäre doch vielleicht mal in der Schule die Grundlagen des aktuellen Stands der Mathematik zu vermitteln als die Geschichte von Dingen, die der Durchschnittsabiturient niemals erfährt.

    Dann könnte man vielleicht auch mal einen Artikel in der Zeitung lesen, in dem bei der Beschreibung des mathematischen Dimensionsbegriffs zumindest mal das Wort "Vektorraum" oder "Basis" fällt.

    Ich finde das irritierend: In jedem Artikel über Medizin, Computer, Biologie oder Technik finden sich Fachbegriffe, die dann dem Laien gegebenenfalls mehr oder minder gelungen erklärt werden.

    Man kann aber den Eindruck bekommen, dass die Begriffe der Mathematik irgendwie schmutzige Wörter seien, denen man den schutzlosen Leser nicht aussetzen dürfe.

    • oannes
    • 23. Juli 2013 10:09 Uhr

    Ich vermisse hier einen Hinweis auf den Physiker Burkhard Heim, der sich in seinen Theorien mit einem mindestens 6-dimensionalen Raum befasste – freilich völlig anders, als es sich der unbedarfte Laie (ich auch) vorstellen mag.

    Zum reinschnuppern: http://archiv.mufon-ces.o...

    und ziemlich anspruchsvoll: http://www.engon.de/proto...

    oder: http://www.heim-theory.com/

    Eine Leserempfehlung
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    zu erwähnen, dass Heyms Strukturtheorie der 12 dimensionalen Hyperraumdynamik (sehr spannende Sache, die sich in der Natur täglich wieder finden lässt!!) durch die Extrapolation in seine von ihm (weiter, neu) entwickelten aspektbezogenen Logik auf noch einer völlig anderen Dimension bestätigt wurde. Da ist das Wort Dimension nur noch im metaphorischen Sinne brauchbar.
    Schade, dass Heym sich nicht mehr zu fraktalen Aspekten in der Dimensionalität äußern konnte...

    • Puka
    • 23. Juli 2013 10:12 Uhr

    Schulfach einzuführen, halte ich für verfehlt. Als didaktische Hinführung zum Thema, könnte es sicherlich eher greifen, man macht das gleiche ja im Prinzip auch mit der Literatur, und in Physik ist mir das in meiner Schulzeit natürlich auch schon begegnet. Schüler allerdings haben daran nicht immer das selbe Interesse wie Sie und ich. Bei dem Wort Geschichte verlieren, fürchte ich, viele sofort die Lust, weil sie den Bezug zu ihrer Lebenswirklichkeit nicht mehr erkennen.

    3 Leserempfehlungen
    Antwort auf "Schöner Artikel 1"
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    manchmal Hinweise auf wichtige Persönlichkeiten der Mathematik.

    Aber dass passiert doch eher selten.

    Mir hätte es geholfen, wenn jemand mir gesagt hätte dass Leibniz wichtig war für die Integralrechnung.

    Dann hätte ich dass ganze mal besser verorten können.

    Dass gleiche gilt für die Geometrie von Euklid. Damit haben wir ein ganzes Schuljahr verbracht.

    Wäre doch interessant gewesen zu wissen, dass diese Form der Geometrie in der modernen Mathematik für überholt gilt.

    Und warum dass so ist, und wann man angefangen hat anders zu denken.

    Ich denke schon ein Fach für Mathematikgeschichte, oder eine Integrierung der Mathematikgeschichte in den Philosopieunterricht wäre eine wichtige Bereicherung.

  2. Ja und da ist mir etwas aufgefallen.

    Die Mathematikgeschichte in Deutschland ist von so bedeutenden Mathematikern wie

    Leibniz, Jacobi, Riemann, Gauss, Hilbert, Kaluza, Gödel (Österreicher), Hausdorffer geprägt.

    Niemand hat wahrscheinlich daran ein Interesse die Schüler an diese Persönlichkeiten zu erinnern, weil da ein anderer Teil der deutschen Geschichte erinnert wird, der nicht ganz so negativ ist wie der Holocaust.

    HIlbert antwortete auf die Frage eines Nazi-büroktaten, wie es um die Mathematik stünde, nachdem viele "jüdische" Wissenschaftler Göttingen verlassen hatten:

    "Welche Mathematik?".

    Dass ist alles sehr, sehr traurig.

    Frau Wuensch ist eine ausgezeichnet Vermittlerin der Mathematikgeschichte
    Sie hat ein Buch über die 5. Dimension/Kaluza geschrieben und über Hilber/Einstein.

    Leider sind die Bücher nicht ganz billilg. Aber es gibt ja Bibliotheken.

    Noch ein empfehlenswertes Buch über die Krise der Mathematik:

    P. Yourgau: Gödel, Einstein und die Folgen.

    Alle diese Bücher helfen die Angst vor der Mathematik zu nehmen und erklären wichtige Grundlagen, deren Verstehen für jeden heute in unserer digitalisierten Welt essentiell sind.

    3 Leserempfehlungen
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    Das Thema ist wirklich interessant und fügt den Zerstörungen, die die Nazi Diktatur angerichtet hat, noch eine weitere Facette hinzu, den "brain drain". Gerade in Sachen Mathematik und Physik war Berlin eine Hochburg, bis dann sämtliche jüdischen Wissenschaftler, und das waren die meisten und meist auch die genialsten, fliehen mussten. Personen vom Range Albert Einsteins oder Lise Meitners.

    Das Gleiche gilt für Kunst, Kultur etc.

    Dass sich Leute eine Wiederholung dessen wünsche, ist mir daher nocheinmal unfassbar.

  3. manchmal Hinweise auf wichtige Persönlichkeiten der Mathematik.

    Aber dass passiert doch eher selten.

    Mir hätte es geholfen, wenn jemand mir gesagt hätte dass Leibniz wichtig war für die Integralrechnung.

    Dann hätte ich dass ganze mal besser verorten können.

    Dass gleiche gilt für die Geometrie von Euklid. Damit haben wir ein ganzes Schuljahr verbracht.

    Wäre doch interessant gewesen zu wissen, dass diese Form der Geometrie in der modernen Mathematik für überholt gilt.

    Und warum dass so ist, und wann man angefangen hat anders zu denken.

    Ich denke schon ein Fach für Mathematikgeschichte, oder eine Integrierung der Mathematikgeschichte in den Philosopieunterricht wäre eine wichtige Bereicherung.

    5 Leserempfehlungen
    Antwort auf "Das als eigenes"
  4. habe schon bei Trigonometrie getilgt...

  5. Das Thema ist wirklich interessant und fügt den Zerstörungen, die die Nazi Diktatur angerichtet hat, noch eine weitere Facette hinzu, den "brain drain". Gerade in Sachen Mathematik und Physik war Berlin eine Hochburg, bis dann sämtliche jüdischen Wissenschaftler, und das waren die meisten und meist auch die genialsten, fliehen mussten. Personen vom Range Albert Einsteins oder Lise Meitners.

    Das Gleiche gilt für Kunst, Kultur etc.

    Dass sich Leute eine Wiederholung dessen wünsche, ist mir daher nocheinmal unfassbar.

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    Aber vielleicht kommt ja alles wieder zurück in Form von Google, Hollywood und Co.

    Wäre natürlich einfacher zu vermitteln, wenn mehr Leute gut Englisch könnten.

  6. Wichtiger wäre doch vielleicht mal in der Schule die Grundlagen des aktuellen Stands der Mathematik zu vermitteln als die Geschichte von Dingen, die der Durchschnittsabiturient niemals erfährt.

    Dann könnte man vielleicht auch mal einen Artikel in der Zeitung lesen, in dem bei der Beschreibung des mathematischen Dimensionsbegriffs zumindest mal das Wort "Vektorraum" oder "Basis" fällt.

    Ich finde das irritierend: In jedem Artikel über Medizin, Computer, Biologie oder Technik finden sich Fachbegriffe, die dann dem Laien gegebenenfalls mehr oder minder gelungen erklärt werden.

    Man kann aber den Eindruck bekommen, dass die Begriffe der Mathematik irgendwie schmutzige Wörter seien, denen man den schutzlosen Leser nicht aussetzen dürfe.

    6 Leserempfehlungen
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    • Puka
    • 23. Juli 2013 10:54 Uhr

    schmutzig, sondern abstrakt. Die Mathematiksprache ist von der sinnlichen Welt entkoppelt, ganz anders als die Sprache der Medizin, der Biologie oder auch der Technik. Mathematik hat Anwendungsbereiche (allerdings landet man dann immer in anderen Wissenschaften wie der Physik), ist aber im eigentlichen eine abstrakte Ebene, die schon aus diesem Grund für den menschlichen Verstand nicht tatsächlich greifbar und abbildbar ist. Das Beispiel der 4. Dimension, das im Artikel genannt ist, zeigt dies ja deutlich. Ich fürchte mich sogar ein wenig, vor dem Entfremdungspotential, das eine so rein zahlenbasierte Denk- und Sprechweise mitsichführt, allerdings ist die Entfremdung wirklich nicht ausschließliches Problem der Mathematik.

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