Mathematikstudium »Mich interessieren Ecken und Kanten«

In jeder Ausgabe besucht ZEIT CAMPUS eine Koryphäe ihres Fachs. Diesmal: den Mathematiker Günter M. Ziegler

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"Wunderbar eindeutig" findet Ziegler die Mathematik

ZEIT Campus: Das »Time Magazine« hat 2008 die damals größte bekannte Primzahl unter die 50 besten Entdeckungen des Jahres gewählt. Wozu ist die gut?

Günter M. Ziegler: Um in der Zeitung darüber zu berichten.

ZEIT Campus: Aber braucht man Primzahlen überhaupt?

Ziegler: Die Primzahl selbst ist völlig nutzlos. Primzahlen sucht man aus demselben Grund, aus dem man auf Achttausender steigt: Sie sind nun mal da, und es macht Spaß. Man kann aber an dieser Jagd ablesen, wie die Entwicklung der Zahlentheorie vorangeht. Mit der Mathematik des 19. Jahrhunderts hätte man zum Beispiel eine Zahl mit mehr als 10 Millionen Stellen gar nicht darauf testen können, ob sie eine Primzahl ist.

ZEIT Campus: Ist so eine Zahl denn wirkliche eine Entdeckung – oder nicht vielmehr eine Erfindung? Mathematik entsteht doch erst dadurch, dass der Mensch sie sich ausdenkt, oder?

Ziegler: Das ist eine Frage für endlose philosophische Debatten. Ich selbst gehe an die Mathematik heran wie ein naiver Entdecker und stelle immer wieder fest, dass zu ihr diese wunderbare Eindeutigkeit gehört: Dinge sind entweder richtig oder falsch, dazwischen gibt es nichts. Aus dieser Klarheit schließe ich, dass wir über eine Welt reden, die einfach existiert – ob wir die Dinge in ihr schon entdeckt haben oder nicht.

ZEIT Campus: Gibt es denn noch viel zu entdecken?

Ziegler: Der Punkt, an dem man sagen könnte: Wir haben jetzt alles gesehen und sind fertig – der wird nie kommen. Die Physik war Ende des 19. Jahrhunderts scheinbar so weit. Es gab noch kleine Ungereimtheiten bei der Elektrodynamik, und man dachte, damit seiman bald fertig. Ein paar Jahre später schrieb Einstein seine Arbeiten, und alles war wieder offen.

ZEIT CAMPUS 4/2010

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ZEIT Campus: Was ist eigentlich Mathematik?

Ziegler: Es gibt keine allgemeingültige Definition. Ich sage gern, Mathematik sei die Wissenschaft der Muster. Es geht ja nicht nur um Zahlen, sondern um Strukturen, die in irgendeiner Hinsicht interessant sind. Man könnte die Mathematik auch über das beschreiben, was in ihr studiert wird – aber wenn das die geeignete Definition wäre, dann wäre die Mathematik ja in jedem Jahrhundert etwas anderes. Ich halte es mit dem amerikanischen Richter Potter Steward, der gesagt hat: Ich kann Ihnen nicht definieren, was Pornografie ist, aber ich erkenne sie, wenn ich sie sehe. So ist es auch mit der Mathematik. 

ZEIT Campus: Zurück zu den Primzahlen. Die werden in der digitalen Kommunikation gebraucht. Warum?

Ziegler: Für die Datenverschlüsselung. Man versucht, Rechenaufgaben zu nutzen, die zwar leicht durchzuführen, aber schwer umzukehren sind – und bastelt daraus Verfahren, mit denen man leicht verschlüsseln kann, für die das Entschlüsseln aber schwer ist. Ich nehme zwei Primzahlen mit jeweils 100 Stellen. Die zu multiplizieren ist einfach, das Ergebnis hat 200 Stellen. Diese Zahl benutze ich, um Daten zu verschlüsseln, und diesen Verschlüsselungscode kann ich sogar öffentlich zugänglich machen. Zum Entschlüsseln benötigt man nämlich die beiden Primzahlen. Die muss man kennen, und ohne sie ist die Verschlüsselung nicht zu knacken. Man geht heute davon aus, dass es kein Verfahren gibt, das schnell eine 200-stellige Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen kann.

ZEIT Campus: Woran forschen Sie selbst?

Ziegler: Einer meiner Kernbereiche ist die diskrete Geometrie. Es geht dabei um geometrische Strukturen, die keine glatten Flächen sind. Mich interessieren Ecken und Kanten, Dreiecke und Vierecke, und was man daraus zusammenbauen kann. Das Dach des Berliner Hauptbahnhofs wäre ein anschauliches Beispiel, das ist eine fast runde Struktur, die aber aus flachen Glasplatten besteht. Mit so etwas beschäftige ich mich – aber in der Theorie.

ZEIT Campus: Wie arbeiten Sie?

Ziegler: Mit Papier und Bleistift. Der Computer dient mir eher als Schreibmaschine. Ich bin Geometer, das heißt, ich versuche, Bilder zu entwickeln. Die Erfahrung zeigt: Für ein Problem ein passendes und aussagekräftiges Bild zu finden, ist der größte Teil der Arbeit.

ZEIT Campus: Hätten Sie ein leicht verständliches Beispiel für so ein Problem?

Ziegler: Das ist das, wo es dann… (denkt lange nach) …wirklich kompliziert wird. Also: Wenn ich ein dreidimensionales Polyeder habe, einen Würfel zum Beispiel, dann schaue ich mir den Graphen an, also die Ecken und die Kanten. Eine Frage ist zum Beispiel: Welche Teilgraphen entsprechen den Seitenflächen dieses Polyeders? Das ist eigentlich nicht kompliziert, aber ohne Zeichnung schwer zu verstehen.

ZEIT Campus: Sie haben recht.

Ziegler: Das dreidimensionale Problem ist einfach. Interessant wird es ab vier Dimensionen, aber da wird das Zeichnen schwieriger. 

ZEIT Campus: Verstehen Sie selbst noch die mathematischen Probleme, die nicht zu Ihrem eigenen Forschungsgebiet gehören? 

Ziegler: Das Time Magazine hat 2009 den Beweis des sogenannten Fundamental Lemma unter die zehn wichtigsten Entdeckungen des Jahres gewählt. Die Journalisten dort haben gar nicht erst den Versuch gemacht, zu erklären, worum es bei dem Problem und seiner Lösung eigentlich geht. Ich habe davon auch nur eine sehr vage Vorstellung. Aber wenn man ehrlich ist, sind ja auch die Durchbrüche in der Molekulargenetik für Außenstehende kaum mehr zu verstehen.

ZEIT Campus: Es gibt Teilgebiete der Mathematik, die in den Medien eine Zeitlang populär sind, die Chaostheorie etwa. Sind die tatsächlich relevant?

Ziegler: Da fährt wohl eher die Öffentlichkeit drauf ab. In den siebziger Jahren sprach man über die Katastrophentheorie, in den Achtzigern über die Chaostheorie. Was die Menschen daran so faszinierte, waren wohl die fantastischen Bilder, die aus den Gleichungen entstanden. Das waren aber bloß Bilder. Ich wüsste nicht, was Herr Mandelbrot, der die Chaostheorie damals so propagiert hat, an Theoriefortschritt geliefert hat.

ZEIT Campus: Wofür interessieren sich Mathematiker denn wirklich?

Ziegler: In der Mathematik gibt es viele Richtungen, in die gleichzeitig geforscht wird. Das ist nicht wie etwa in der Physik, wo gerade alle dem Higgs-Boson hinterherlaufen. Wir kennen die zentralen Fragen der wichtigen Bereiche, etwa in der algebraischen Zahlentheorie oder in der diskreten Geometrie. Dort ist Forschung interessant. Es ist aber auch immer gut, sich an den großen, alten, berühmten Problemen zu reiben. Tendenziell sind Probleme, die auf Aristoteles und Archimedes zurückgehen, leichter zu erklären als die ganz aktuellen.

ZEIT Campus: Zu erklären oder zu lösen?

Ziegler: Es ist manchmal recht einfach, zu verstehen, was das Problem ist – und es kann trotzdem extrem schwer sein, eine Lösung dafür zu finden. Ein uraltes Problem, das gar nicht so schwierig klingt, ist folgendes: Ich nehme ein reguläres Tetraeder, also einen dreidimensionalen Körper, der aus vier gleichseitigen Dreiecken besteht. Aristoteles glaubte, dass man solche Tetraeder so stapeln kann, dass der Raum zu 100 Prozent mit ihnen gefüllt ist. Da hat er sich geirrt. Das ist schon im 15. Jahrhundert aufgefallen, aber seitdem stellt sich die Frage, wie viel Prozent eines Raumes man denn tatsächlich mit gleich großen Tetraedern füllen kann. Wir wissen inzwischen, dass 85 Prozent möglich sind, und es hat auch noch keiner bewiesen, dass 99 Prozent unmöglich wären – es gibt immer noch keine endgültige Antwort darauf.

ZEIT Campus: Und die neueren Fragen?

Ziegler: Es gibt zum Beispiel wunderbare neue Entwicklungen in der Knotentheorie. Man hat lange daran gearbeitet, eine Theorie zu finden, die zeigen kann, ob sich ein Knoten auflöst, wenn man ihn aufzwirbelt. 

ZEIT Campus: Wieso ist das wichtig? 

Ziegler: Die deutsche Schuhindustrie wird sich dafür nicht interessieren. Primär ist es Theorie. Knoten sind elementare geometrische Figuren, und die will man verstehen, das ist Grundlagenforschung. Ich setze mich auch nicht dem Rechtfertigungsdruck aus, ob und wann das, was ich erkunde, einmal praktisch wichtig sein wird. Die Mathematik, auf der heutige Hightech-Anwendungen aufbauen, ist auch schon etwas älter. Ein amerikanischer Kollege sagte mal: Die Welt hat uns Mathematikern die Analysis noch nicht zurückbezahlt und bei der linearen Algebra noch gar nicht angefangen – da ist es mir doch egal, was die Leute heute über meine Forschung denken.

Die Fragen stellte Philipp Schwenke