Wie dicht kann man gleich große Kugeln stapeln? In drei Dimensionen lässt sich die beste Anordnung beim Gemüsehändler besichtigen: Orangen oder Melonen werden dort meistens so dicht wie möglich aufgehäuft. Dass man Melonen tatsächlich nicht platzsparender stapeln kann, ist seit der  Jahrtausendwende bekannt, als die Mathematiker Tom Hales und Samuel Ferguson es in ihrem Beweis der Kepler-Vermutung gezeigt haben – rund vierhundert Jahre nachdem der Universalgelehrte Johannes Kepler es in einer kleinen Abhandlung vermutet hatte.   

Doch die Mathematik kennt Kugeln in jeder Dimension. In zwei Dimensionen sind "Kugeln" zum Beispiel platte, runde Scheiben. In vier Dimensionen muss man dreidimensionale Kugeln sozusagen in eine vierte Raumrichtung aufpusten – kaum vorstellbar, aber durchaus berechenbar. Und stapeln  kann man Kugeln theoretisch auch in jeder Dimension. Nur wie dicht das im besten Falle geht, das wussten Mathematiker bislang nur in den Dimensionen eins, zwei und drei.     

Gemüsehändler, bleib bei deinen Dimensionen!

Nun scheint auch Dimension acht geknackt: Maryna S. Viazovska, eine  junge Mathematikerin an der Berliner Humboldt-Universität, hat nach jahrelanger Arbeit offenbar bewiesen, dass sich der dreidimensionale Raum mit dreidimensionalen Kugeln viel besser füllen lässt als der
achtdimensionale mit achtdimensionalen. In drei Dimensionen machen die Lücken zwischen den Kugeln nur etwa ein Viertel des Raumes aus, in acht Dimensionen sind fast drei Viertel des Raumes Luft. Ihre Arbeit dazu hat die Mathematikerin auf der Open-Source-Plattform der US-amerikanischen Cornell-Universität online gestellt. (ArXiv, Viazovska, 2016)     

Viazovskas Arbeit macht auch klar, wie man die Kugeln stapeln muss: Die Kugelmittelpunkte müssen in einer regelmäßigen Anordnung liegen, auf einem achtdimensionalen Gitter, das in der Mathematik seit langem als E_8-Gitter bekannt ist. Dieses spielt auch in der Stringtheorie und in vielen anderen Gebieten der Mathematik eine wichtige Rolle.

Dass das E_8-Gitter eine optimale Kugelanordnung ermöglicht, war schon länger vermutet worden, unter anderem von den amerikanischen Mathematikern Henry Cohn und Noam Elkies. Die beiden bewiesen, dass sich Kugeln in acht Dimensionen – egal, mit welcher Anordnung – höchstens ein Millionstel besser packen lassen als mit der Anordnung auf dem E_8-Gitter (Annals of Mathematics, Cohn und Elkies, 2003). Und sie vermuteten, dass es in Wirklichkeit gar nicht besser geht. Ihr Beweis basiert auf der Konstruktion gewisser "optimaler Funktionen".     

Auf die falsche Formel gesetzt?

"Mein Co-Autor und Freund Andrii Bondarenko an der Technischen Universität Trondheim wies mich irgendwann auf die Arbeit von Cohn und Elkies hin", erinnert sich Viazovska. "Wir haben einige Zeit erfolglos versucht, explizit eine optimale Funktion zu finden. Ich war überrascht, als sich plötzlich herausstellte, dass man für die geschlossene Darstellung dieser Funktion aber Modulformen benötigt. Zum Glück habe ich das gesehen, bevor ich aufgegeben habe." Mit Modulformen –
speziellen Funktionen, die üblicherweise in der Mathematik der Primzahlen verwendet werden – kannte Viazovska sich nämlich aus, weil sie am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn damit gearbeitet hatte. Dort hat sie bei Don Zagier promoviert, einem der weltweit führenden Zahlentheoretiker.

Nun wird ihre Arbeit von Kollegen geprüft und diskutiert, bevor sie in einem Fachmagazin veröffentlicht werden soll. Kollegen äußern sich schon jetzt enthusiastisch: "Nach der wegweisenden Arbeit von Cohn und Elkies hoffte man, das allgemeine Kugelpackungsproblem zumindest in den
Dimensionen acht und 24 zu lösen. Die  Arbeit von Viazovska verspricht, diese Hoffnung in Dimension acht zu erfüllen. Das wäre ein Meilenstein in der Geschichte der Kugelpackungen", meint etwa Martin Henk, Geometrie-Professor an der Technischen Universität Berlin und ein
Experte für Kugelpackungen.   

Unterdessen geht das Kugelpacken in höheren Dimensionen weiter: "Ich bin fast sicher, dass man dieselbe Methode auch in Dimension 24 anwenden kann", glaubt Viazovska. Der Grund: Auch dafür ist bekannt, dass Kugeln ziemlich dicht gepackt werden, wenn ihre Mittelpunkte hübsch regelmäßig
auf einem Gitter liegen. Und Cohn und Elkies bewiesen schon, dass jede mögliche Packung in dieser Dimension höchstens um den Faktor 1,0007071 dichter ist als die bekannte Gitterpackung.  

In allen anderen Dimensionen scheint viel weniger klar, wie die dichtesten Packungen aussehen könnten. Es gibt sogar Dimensionen, in denen die Kugeln offenbar besser nicht regelmäßig auf einem Gitter angeordnet werden, wenn man den Raum möglichst dicht füllen will.

Die Hoffnung: Hat man erstmal verstanden, wie man Kugeln in hochdimensionalen Räumen packen
kann, dann versteht man auch besser, wie diese Räume funktionieren. Das könnte die Physik, Geometrie und viele andere Bereiche der Mathematik entscheidend voranbringen.