Während einer Ausstellung in Seattle zierte diese Pi-Skulptur eine Hafentreppe.

Basislager

Gehen Sie erst los, wenn Sie die folgenden Grundlagen in Ihren Rucksack gepackt haben.

3. 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999...

Richtig, das ist die Zahl π. Mit 768 Nachkommastellen. Die sechs Neunen am Ende nennen Mathematiker den Feynman-Punkt, benannt nach dem amerikanischen Physiker und Nobelpreisträger Richard Feynman. Er hat sie nicht entdeckt, sondern der Legende nach einen Witz darüber gemacht.

Der Feynman-Punkt ist allerdings nicht das Ende von π. Auch bedeutet er nicht, dass danach nur noch Neunen folgen. Im Gegenteil: Sogleich tauchen wieder alle anderen Ziffern von 0 bis 9 durcheinander auf.

Bekannt sind bisher 13,3 Billionen Nachkommastellen, und anscheinend weisen sie keinerlei Ordnung, kein Muster auf. Unerhört. Seit 4.000 Jahren sind Mathematiker besessen von dieser Zahl, die – so viel wissen die meisten aus der Schule – etwas mit Kreisen zu tun hat. Gibt es nicht doch irgendwo einen tieferen Sinn in π? Wird man in der Zahlenfolge eines Tages eine Ordnung finden? Und warum taucht π in so vielen Naturgesetzen auf? Vor diesem Gipfel muss gewarnt werden. Wird er sich am Ende als Berg des Sisyphos erweisen?

Erster Anstieg

Los geht’s! Auf leichten Anhöhen begegnen Sie Erkenntnissen, die Sie bereits ins Schwitzen bringen können

Gemächlich zieht sich der Weg den sanften Hang hoch. Wir schreiten kräftig aus und durcheilen rasch Jahrtausende. Bald nachdem die Menschen das Rad erfunden hatten, bauten sie Streitwagen und Transportkarren. Die Wagenbauer des Altertums fragten sich irgendwann: Kann man berechnen, wie lang die Metallbänder sein müssen, mit denen die Holzräder beschlagen werden, wenn wir nur den Durchmesser des Wagenrads kennen?

Eine ähnliche Frage stellten sich Küfer, die Fässer mit kreisförmigem Boden herstellten und deren Volumen genau bestimmen wollten. Die frühen Mathematiker Ägyptens und Mesopotamiens machten sich an die Arbeit. Mithilfe geometrischer Figuren versuchten sie die "Quadratur des Zirkels": Sie suchten zu einem vorgegebenen Kreis dasjenige Quadrat, dessen Umfang genauso groß ist wie der Umfang des Kreises. So wollten sie eine Rechenvorschrift für die sogenannte Kreiszahl finden, das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser des Kreises. Dieser Wert ist für alle Kreise gleich, egal welchen Durchmesser sie haben, nämlich π (die Bezeichnung gab es damals noch nicht). Wie groß ist π? Die ägyptischen Mathematiker landeten mit ihrer Abschätzung vor über 3.500 Jahren bei dem Wert 3,16, ihre mesopotamischen Kollegen bei 3,125.

Dieser Text stammt aus dem Magazin ZEIT WISSEN Nr. 2/16.

Anders als viele heute glauben, war die Mathematik damals nicht primitiv. Bruchrechnen, lineare Gleichungen und Geometrie beherrschten beide Kulturen bereits souverän. Allerdings formulierten sie ihre Berechnungen als Texte, die an die Textaufgaben in der Schule von heute erinnern. Die moderne mathematische Schreibweise mit Ziffern, Komma, Formelzeichen und Platzhaltern kannten sie noch nicht. π = U/d (Umfang geteilt durch den Durchmesser) schrieb man nicht.

Auch Archimedes, der wohl größte Mathematiker der Antike, tat dies noch nicht. Er arbeitete geometrisch, so wie die meisten Mathematiker jenes Zeitalters. Mit Zirkel und Lineal teilten sie Winkel oder konstruierten auf einem Kreis ein Sechseck. Heute wird das in der fünften bis siebten Klasse gelehrt. Archimedes’ Ansatz im 3. Jahrhundert vor Christus bestand darin, den Kreisumfang mithilfe von zwei Vielecken abzuschätzen – einem innerhalb, einem außerhalb des Kreises. Je mehr Seiten die Vielecke hatten, desto besser wurde die Annäherung. Mithilfe von 96-Ecken grenzte er schließlich die Kreiszahl weiter ein. Sie war größer als 3 10/71* und kleiner als 3 10/70, lag also zwischen 3,1408 und 3,1428.


Diese sogenannte Exhaustionsmethode, das Eingrenzen mithilfe von Vielecken, trieben in den folgenden anderthalb Jahrtausenden Mathematiker in Griechenland, Indien, Arabien und China immer weiter. Im 5. Jahrhundert errechnete der Chinese Zu Chongzhi einen Wert, der die ersten fünf richtigen Nachkommastellen der Kreiszahl enthielt. Der persische Mathematiker Dschamschid al-Kaschi berechnete im frühen 15. Jahrhundert die ersten 15 Zahlen hinter dem Komma korrekt, und dann ging der Wettlauf auch in Europa los: Ludolph van Ceulen knackte bis zu seinem Tod 1610 die ersten 35 Nachkommastellen, die auch auf seinem Grabstein eingraviert wurden. Seine Fleißarbeit war der Endpunkt einer Sackgasse. Kleiner Trost: Die Kreiszahl wurde anschließend für mehr als hundert Jahre "Ludolphsche Zahl" genannt.

Am Steilhang

Atmen Sie tief durch: Es ist alles ganz anders, als Sie dachten – aber Sie schaffen das

Der Weg hat uns in ein enges Tal geführt, das vor einer senkrechten Felswand endet. Wir gehen ein kleines Stück zurück und entdecken einen steilen, aber begehbaren Seitenpfad. Während das christliche Abendland der Mathematik wenig Aufmerksamkeit schenkt und stattdessen Kreuzzüge führt, legen Denker in Indien die Grundlagen der heutigen Mathematik. Sie führen die Dezimalschreibweise für Zahlen mitsamt der Null ein, kennen negative Zahlen, beschreiben Probleme in Form von quadratischen Gleichungen. Welch ein Erkenntnisfortschritt! Ihr Wissen gelangt in die islamische Welt, wo der Perser Mohammed al-Chwarizmi im 8. Jahrhundert die Grundlagen der Algebra entwickelt. Was Schüler heute ins Schwitzen bringt, die Lösung einer Gleichung wie (3 × 2) – 4x – 4 = 0, beschrieb Al-Chwarizmi zum ersten Mal systematisch. Über die arabische Welt erreicht dieses neue Wissen im Hochmittelalter auch Europa.

Die Denker lässt die Kreiszahl nicht los. Sie rücken ihr nun nicht mehr mit Vielecken und geometrischen Hilfsmitteln zu Leibe, sondern mit neuen mathematischen Werkzeugen: Sie summieren oder multiplizieren unendlich viele Bestandteile. Natürlich nicht wirklich, sonst würden sie nie fertig. Doch im 15. und 16. Jahrhundert entdecken gleich mehrere Mathematiker einen Trick: Es gibt Summen, die immer weniger wachsen, je mehr Teile sie enthalten. Stattdessen nähern sie sich nach sehr vielen Rechenschritten einem Grenzwert an. Mehr noch: Es gibt Summen, deren Grenzwert die Kreiszahl π oder ein Bruchteil von ihr ist. Der Inder Madhava beispielsweise startet mit der Eins, zieht ein Drittel ab, addiert ein Fünftel, zieht ein Siebtel ab, addiert ein Neuntel und immer so weiter mit zunehmenden ungeraden Zahlen im Nenner des jeweiligen Bruchs. Diese Summe strebt auf einen Wert zu, der einem Viertel von π entspricht.