Betriebliche Planung mit mathematischen Methoden: „Lineare Programmierung“

Unter den analytischen Methoden, die in den letzten Jahren zur Lösung betrieblicher Probleme entwickelt wurden, spielt die sogenannte „Lineare Programmierung“ (L. P.) oder „Lineare Planungsrechnung“ eine bedeutende Rolle. Von allen Methoden des „Operations Research“ (siehe Nr. 31 die ZEIT) bietet L. P. die breitesten Anwendungsmöglichkeiten für betriebliche Untersuchungen. L. P.-Analysen bedienen sich in ihrer Durchführung komplizierter mathematischer Methoden, so daß sie in der industriellen Praxis oft mit Skepsis betrachtet werden. Der Versuch, die Grundzüge und Anwendungsmöglichkeiten des L. P. kurz darzustellen, lohnt sich dennoch.

Die Methode der L. P.

Die L. P. kann auf alle Aufgaben angewandt werden, die eine optimale Aufteilung verschiedener Ressourcen auf unterschiedliche Verwendungen unter bestimmten Nebenbedingungen zum Ziele haben. Die „Ressourcen“ können dabei Rohstoffe, Maschinen, Transportmittel oder ganze Produktionsstätten sein. Die „Nebenbedingungen“ berücksichtigen die Tatsache, daß betriebliche Entscheidungen immer im Rahmen gegebener Produktionskapazitäten, Lagermöglichkeiten und Kapitalausstattungen getroffen werden müssen.

Mathematisch stellt die L. P. die Lösung eines simultanen Gleichungssystems unter gegebenen Nebenbedingungen dar. Die Lösung erfolgt rechnerisch durch schrittweise Annäherung an die optimale Lösung. Eine optimale Lösung wird gewöhnlich als diejenige Verteilung der Ressourcen auf die verschiedenen Verwendungen definiert, die ein Kostenminimum oder ein Gewinnmaximum herbeiführt. Obwohl die Grundmethoden der L. P. nur auf Situationen anwendbar sind, in denen Kosten bzw. Gewinne der untersuchten Vorgänge sich proportional zum Volumen entwickeln – daher der Name: Lineare Programmierung –, erlauben es, neuere Methoden, auch den nicht-linearen Kostenverlauf, zu analysieren. Man hat gleichfalls begonnen, Lösungsmethoden für zeit- und zufallsabhängige Probleme auszuarbeiten.

Die betriebliche Anwendung

Eines der frühesten Beispiele einer wirtschaftlichen Anwendung der Linearen Programmierung bestand darin, die Transportkosten für ein Unternehmen so klein wie möglich zu halten, welches dasselbe Produkt in mehreren Werken herstellt und an eine große Anzahl eigener Lager versenden muß. Die gegebenen Produktionskapazitäten der verschiedenen Werke und die Bedarfszahlen der einzelnen Lager stellen die „Nebenbedingungen“ des L. P.-Problems dar. Diese Fragestellung ist auch für Fahrplanstudien aller Verkehrsmittel relevant. Besonders im Luftverkehr und im amerikanischen Eisenbahnwesen wurde das L. P. mit großem Erfolg angewandt.