Mathematik und Logik waren, historisch gesehen, zwei ganz getrennte Arbeitsgebiete. Die Mathematik hing mit den Naturwissenschaften, die Logik mit den Geisteswissenschaften zusammen. Aber beide haben sich in der neueren Zeit entwickelt. Die Logik wurde mathematischer, die Mathematik logischer. Infolgedessen ist es heute ganz unmöglich, einen Trennstrich zwischen beiden zu ziehen. Sie unterscheiden sich wie der Knabe vom Mann: Die Logik ist die Jugend der Mathematik und die Mathematik das Mannesalter der Logik."

Russell hat dem Beweis seiner These, daß Logik und Mathematik eins sind, fast 20 Jahre seines Lebens und zahlreiche Schriften gewidmet, von denen die "Principles of Mathematics" (1903) und die mit Whitehead gemeinsam verfaßten drei Bände der "Principia Mathematica" (1910-1913) die wichtigsten sind.

Die "Einführung in die mathematische Philosophie" faßt die Ergebnisse der "Principles" und der "Principia" zusammen. Im Unterschied zu ihnen setzt sie jedoch keine Kenntnisse der mathematischen Symbolik voraus. Die englische Fassung entstand 1918 im Gefängnis von Brixton, wo Russell eine sechsmonatige Haftstrafe für seine pazifistische Tätigkeit im Ersten Weltkrieg zu verbüßen hatte.

Das Buch schildert die Rückführung der Mathematik auf die Logik. Es beginnt mit Peanos Ableitung der Arithmetik aus drei Grundbegriffen (Null, Zahl und Nachfolger) und fünf Axiomen. In diesem System werden die natürlichen Zahlen jedoch als etwas bereits Vorhandenes angesehen. Die Axiome ordnen ihnen keine feste Bedeutung zu. Der Begriff der natürlichen Zahl muß deshalb zusätzlich festgelegt werden. Dies geschieht in Übereinstimmung mit Frege, der die natürlichen Zahlen als bestimmte Mengen von Mengen definiert hatte.

Auch die erweiterte Theorie der Induktion wird im Anschluß an Frege entwickelt. Russell hat sie ebenso wie die Definition der Zahl wiederentdeckt und ihre Anerkennung gefördert. Von der Definition der natürlichen Zahlen geht Russell zu der der rationalen, reellen und komplexen Zahlen über. Da es sich hierbei um Beziehungszahlen handelt, reicht die bisherige Prädikatenlogik zu ihrer Definition nicht aus. Sie bedarf vielmehr der Ergänzung durch eine eigene Relationenlogik, zu deren Ausbau Russell und Whitehead wesentlich beigetragen haben. Rationale Zahlen werden als Beziehungen zwischen natürlichen Zahlen definiert, reelle Zahlen als Mengen von Rationalzahlen. Zum Beispiel umfaßt die Wurzel aus 2 alle Rationalzahlen, deren Quadrat kleiner als 2 ist. Komplexe Zahlen können als geordnete Paare reeller Zahlen erklärt werden.

Weitere Kapitel beschäftigen sich mit den grundlegenden Arbeiten von Cantor, Dedekind und Zermelo zu den Begriffen der unendlichen Zahl, des Limes, der Stetigkeit und des Auswahlaxioms. Darüber hinaus werden eine Reihe eigener Forschungsergebnisse dargestellt, zu denen insbesondere die von Russell entdeckte mengentheoretische Antinomie, die von ihm zu ihrer Vermeidung entwickelte Typentheorie sowie schließlich seine Theorie der Beschreibungen gehören. Diese drei Beiträge zur Logik werden wohl stets mit Russells Namen verbunden bleiben.

Die Russellsche Antinomie geht von zwei Mengen M1 und M2 aus. M1 ist die Menge aller denkbaren Gegenstände. Sie umfaßt alles und muß sich deshalb auch selbst als Element enthalten. Darin ist sie Jedoch nicht normal. Normale Mengen sind nicht Element ihrer selbst. Die Menschheit z. B. ist kein Mensch. Russell fordert uns nun auf, als Menge M2 die Vereinigung aller Mengen zu bilden, die, wie die Menschheit, nicht Element ihrer selbst sind und fragt: Ist diese Menge M2 ein Element ihrer selbst? Seine Antwort lautet: "Ist sie es, so ist sie eine der Mengen, die nicht Element ihrer selbst sind. Ist sie es nicht, so ist sie nicht eine der Mengen, die nicht Element ihrer selbst sind, das heißt, sie ist ein Element ihrer selbst. Also folgt sowohl aus der Annahme, daß sie ein Element ihrer selbst ist, wie aus der, daß sie es nicht ist, das Gegenteil. Das ist ein Widerspruch."