Es waren die ersten Monate des 20. Jahrhunderts, und Bertrand Russell befand sich in intellektueller Ekstase: Wie besessen schrieb der damals 28-Jährige an seinen Prinzipien der Mathematik, dem Versuch einer logischen Fundierung der Mathematik. Doch dann, im Frühsommer 1901, stieß er auf ein Paradox, das die Grundlagen seiner Theorie erschütterte und der Fachwelt übel aufstoßen sollte. Russell wurde von einer geistigen Lähmung ergriffen, die ihn an allem zweifeln ließ, und er versank schließlich gar in eine Depression. Um seine "euphorischste Schaffensphase", wie er sie später selbst nannte, war es geschehen.

Dabei war Bertrand Russell auf ein Problem gestoßen, das keineswegs neu war.

Seit den alten Griechen zerbrachen sich Philosophen und Logiker gerne bei einem Gläschen Wein darüber die Köpfe - allerdings ohne es weiter zu beachten. Russell war der Erste, der die Tragweite erkannte, obwohl er in Cambridge eine eher veraltete Mathematik studiert hatte, die weit hinter der damals führenden kontinentalen Lehre zurück war.

In seiner populärsten Form wird Russells Paradox gerne am Beispiel jenes unglückseligen Barbiers erzählt, der von seinem Bürgermeister den Auftrag bekommt, alle Männer zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren - und niemand sonst. Kein Problem, denkt sich der brave Mann und macht sich an die Arbeit, denn es winkt ein hübsches Sümmchen. Doch nach getaner Arbeit fragt ihn sein Auftraggeber: "Und wer hat dich rasiert?" - "Nun, ich mich selbst!", ist die Antwort - die ihn leider um den Lohn bringt. Denn laut Vereinbarung darf der Barbier ja nur diejenigen rasieren, die sich nicht selbst rasieren.

"Na, dann rasiere ich mich eben nicht mehr", denkt sich der Bartscherer und startet einen zweiten Versuch. Aber auch diesmal bleibt der erwartete Geldsegen aus: Denn da er nun zu jenen gehört, die sich nicht selbst rasieren, hätte er eigentlich vom Barbier, also von ihm selbst, rasiert werden müssen. Eine böse Zwickmühle.

In seiner verallgemeinerten Form beschäftigt dieses Problem die Zunft bis heute. Als kürzlich einige der führenden Philosophen und Mathematiker der westlichen Welt in München zusammenkamen, um zum hundertsten Jahrestag der berühmten Kopfnuss zu gedenken, herrschte Einigkeit darüber, dass sie noch immer nicht geknackt ist. "Es wäre so schön", stöhnte Nicholas Griffin, Direktor des Bertrand Russell Research Center an der McMaster-Universität in Kanada, "wenn Russells Paradox nicht existierte" - aber was einmal gedacht wurde, lässt sich eben nicht so einfach wieder aus der Welt schaffen.

Der Logiker Bertrand Russell dachte natürlich nicht über Friseure nach, sondern beschäftigte sich mit den abstrakten Gebilden der mathematischen Mengen. Denn die Mengenlehre, die der deutsche Mathematiker Georg Cantor erdacht hatte, schien wie geschaffen als logisches Fundament der Mathematik: Sie verhieß Antwort auf grundlegende Fragen - etwa: Was ist eigentlich eine Zahl? Warum gibt es keine größte Zahl? Und was bedeutet Unendlichkeit? All dies ließ sich mithilfe von mathematischen Mengen lösen.

Und einfach schien die Mengenlehre auch zu sein: Sie besagt zunächst einmal nur ganz schlicht, dass verschiedene Dinge auf der Basis ihrer Eigenschaften zu Mengen zusammengefasst werden können. Man kann zum Beispiel die Menge aller Bundeskanzler bestimmen, die in Warschau auf die Knie fielen, und enthält die Menge mit dem Element "Willy Brandt". Etwas komplizierter wird die Sache, wenn man Mengen betrachtet, die nicht nur einzelne Elemente enthalten, sondern wiederum andere Mengen. So lässt sich beispielsweise die Menge aller Mengen bilden, die das Element "Willy Brandt" beinhalten. Und dann gibt es noch jene Mengen, die sich selbst enthalten. Ein Beispiel wäre die Menge aller abstrakten Dinge. Sie enthält sich selbst, denn auch die Menge der abstrakten Dinge ist ein abstraktes Ding.

Einladung zur Gehirnakrobatik

Vor hundert Jahren versuchte sich Russell an der Definition der so genannten normalen Menge: der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten. Die schwierige Frage dabei: Enthält diese Menge sich selbst? Antwort: Ja und nein. Denn eigentlich müsste sie sich selbst enthalten. Doch sobald sie sich selbst enthält, erfüllt sie ihre eigene Bedingung nicht mehr - der Barbier lässt grüßen. Russell stand vor einem unlösbaren Widerspruch. Nicholas Griffin nennt dessen Versuch, die Mathematik auf die Logik zurückzuführen, daher ein "brillantes Versagen", allerdings so brillant, dass "manch einer, der sich eine funktionierende Theorie ausgedacht hat, froh wäre, wenn sie so brillant wäre".

In der Tat hatte Russells Scheitern vor hundert Jahren dramatische Auswirkungen. So schrieb der verzweifelte Denker nach einem Jahr fruchtlosen Grübelns in fließendem Deutsch nach Jena, an den Mathematiker und Philosophen Gottlob Frege. Dieser freute sich gerade darauf, seine Grundlagen der Arithmetik aus der Druckerei zu holen und die Fachwelt mit seiner eigenen logischen Fundierung der Mathematik zu beglücken. Frege war schockiert.

Hastig schrieb er ein Postskript zu seinem Werk: Einem Forscher könne nichts Schlimmeres passieren, als dass sein Lebenswerk kurz vor Abschluss so in seinen Grundfesten erschüttert werde. Der geplante dritte Band seines Werks erschien nicht mehr, und Frege starb 1925 verarmt und verbittert. Anders als der junge Russell konnte er den vernichtenden Schlag zeit seines Lebens nicht mehr verdauen.

Doch warum warfen die Mathematiker die Mengenlehre, die in ihren Wurzeln angekränkelt zu sein schien, samt ihrer logischen Formulierung nicht einfach über Bord? Weil man nicht mehr an ihr vorbeikam, sagt Godehard Link, Professor für Logik und Wissenschaftstheorie in München und Initiator der Konferenz: Das Rad der Erkenntnis konnte nicht zurückgedreht werden. So hatte sich zum Beispiel der einflussreiche Göttinger Mathematiker David Hilbert auf die Fahne geschrieben, eine reine Mathematik zu entwickeln, denn Mathematik war bislang nur als angewandte Wissenschaft betrieben worden. Hilbert musste Russell ernst nehmen, denn das neue Jahrhundert sollte eine grundlegende Klärung aller offenen mathematischen Fragen bringen, diese Aufgabe hatte er seinen Kollegen auf einem Kongress 1900 gestellt. Die simple Devise des Mengenlehre-Erfinders Cantor, unlösbare Dinge Gott zu überlassen, schien nicht mehr zeitgemäß.

Bis heute gibt es Versuche, das Paradox zu entschärfen. Russell selbst hatte in der so genannten Typentheorie festgelegt, dass es Mengen unterschiedlichen Typs gibt. Eine Menge darf kein Element enthalten, das vom gleichen Typ ist wie die übergeordnete Menge - auf diese Weise schloss er in den Principia Mathematica, die er zusammen mit seinem Lehrer Alfred North Whitehead schrieb, die Mengen aus, die sich selbst enthalten. Er selbst war allerdings nicht zufrieden damit: In seiner Autobiografie erkennt er rückblickend, dass dieser und weitere Versuche, das Paradox zu vermeiden, weit davon entfernt sind, den Ansprüchen an eine elegante Theorie zu genügen: Denn sie sind nur Vehikel, die außerhalb des logischen Systems stehen.

Heute, hundert Jahre danach, ist es nicht anders. Der Barbier steht in den Lehrbüchern und lädt die Studenten zur Gehirnakrobatik ein. Die Menge der Forscher spaltet sich in die, die so weitermachen, als wäre nichts geschehen - und die wenigen, die sich auf die Suche nach einer formalen Lösung des Problems machen, wie der Doyen der mathematischen Logik, Solomon Feferman aus Stanford. "Es hat keinen Sinn, die Dinge zu ignorieren", sagt er. "Wir können über die Menge der unendlichen Mengen reden, und wir müssen uns darüber Gedanken machen, ob diese Menge selbst unendlich ist." Von der fundamentalen Verunsicherung, die Russell am Anfang des vergangenen Jahrhunderts ausgelöst hatte, war in München nichts mehr zu spüren: Man erfreut sich an der Reichhaltigkeit des Russellschen Gedankengutes, der nach seinem Schock 1901 irgendwann wieder zu alter Frische zurückfand und Mathematik, Logik und Philosophie mit weiteren Anstößen versah. Und gerade die Erkenntnis seines Paradoxons weist Bertrand Russell als modernen Denker aus, der erkannte: Nichts ist sicher, zumindest nicht, wenn man genau hinschaut. Aber wir machen trotzdem weiter.