Die Werke des Mathematikers, so forderte der Engländer Godfrey H. Hardy Anfang des 20. Jahrhunderts, müssten "schön sein wie die des Malers oder Dichters". Schönheit sei die erste Prüfung: "Es gibt keinen Platz in der Welt für hässliche Mathematik."

Doch was ist schön? Selbst Albrecht Dürer gestand freimütig: "Was das ist, weiß ich nicht, wiewohl sie vielen Dingen anhängt." Kein Wunder also, dass es auch Günter Ziegler nicht gelingt, den Begriff eindeutig zu bestimmen. "Da spielen viele Sachen zusammen", sagt der Berliner Mathematiker. "Elegant" nenne man einen Beweis zum Beispiel dann, wenn er kurz und knapp sei und möglichst ein Überraschungsmoment enthalte. Anders ausgedrückt: Ihn zu studieren sollte mehr Freude als Mühe bereiten.

Genau dieses Vergnügen will Ziegler zusammen mit seinem Kollegen Martin Aigner allen zuteil werden lassen: In ihrem Werk Proofs from THE BOOK haben sie vor vier Jahren die schönsten mathematischen Beweise zusammengestellt.

Nun erscheint Das BUCH der Beweise erstmals auf Deutsch (Springer-Verlag, 29,95 e) und soll damit auch Lesern, die des Englischen unkundig sind, die Freude an der mathematischen Eleganz eröffnen.

Die Idee zu dem ungewöhnlichen Buchprojekt kam Aigner nach Gesprächen mit dem vagabundierenden Mathematiker Paul Erdös. Erdös verbrachte fast 60 Jahre seines Lebens damit, durch die Welt zu reisen, Kollegen zu besuchen und mit ihnen neue Theoreme aufzustellen. Mit knapp 500 Mathematikern hat der gebürtige Ungar gemeinsame Arbeiten geschrieben. Ein Rekord, der kaum zu überbieten sein wird. Mit sich führte Erdös nur einen Koffer mit ein paar Kleidungsstücken und eine Einkaufstasche voller Manuskripte. "Mein Geist ist offen", pflegte er zur Begrüßung zu sagen, was so viel bedeutete wie: "Ich bin bereit für neue mathematische Abenteuer."

Ohne viel Zeit mit überflüssigen Höflichkeitsfloskeln zu verplempern, sprach er häufig bereits im zweiten Satz ein mathematisches Problem an. Dabei war es sein höchstes Ziel, elegante Beweise zu finden. Seine fantastische Theorie: Die perfektesten Beispiele dafür würden von Gott in einem besonderen Buch aufbewahrt, eben dem BUCH. Allerdings sei der Herr, an den Erdös im Übrigen nicht glaubte, der SF, der supreme fascist (oberste Faschist). Er habe die Menschen nur erschaffen, um sich an ihrem Leiden zu erfreuen. Eine seiner Grausamkeiten sei es, ihnen das BUCH vorzuenthalten. So müssten Mathematiker ihre geballte Intelligenz und Intuition anstrengen, um ab und zu einmal einen kleinen Blick hineinwerfen zu dürfen.

So genial sich Erdös in seiner Profession zeigte, so unbeleckt war er in weltlichen Dingen. Zeit seines Lebens lernte der Junggeselle nicht einmal, die einfachsten Arbeiten im Haushalt zu verrichten. "Ich könnte wahrscheinlich ein Ei kochen, aber ich habe es nie probiert", gab er einmal zu. Das hätte ihn nur Zeit gekostet, in der er lieber neue Theoreme suchte, um sie anschließend elegant zu beweisen - und so einen kurzen Blick in Gottes BUCH zu erhaschen.

Ursprünglich wollten Aigner und Ziegler die irdische Annäherung an das himmlische Werk zusammen mit Erdös verfassen. Doch bevor das Werk fertig wurde, starb Erdös 1996. Wie es sich für ihn gehörte, nahm der 83-Jährige damals gerade an einer mathematischen Tagung in Warschau teil, auf der er noch zwei Vorträge gehalten hatte. Die beiden Berliner vollendeten das BUCH der Beweise ohne ihn. Knapp die Hälfte des Inhalts gehe aber auf Vorschläge Erdös' zurück, berichtet Ziegler.

Die beiden Berliner Mathematiker haben zwar versucht, vor allem elementare Beweise vorzuführen. Doch Normalsterbliche, die weder ein paar Semester Mathematik studiert haben noch über den Genius eines Paul Erdös verfügen, werden bei der Lektüre an etlichen Stellen ins Straucheln geraten. Der Meister selbst freilich hätte seine helle Freude an diesem Feuerwerk mathematischer Geistesblitze gehabt.

Für den Uneingeweihten ist die Schönheit eines mathematischen Gedankens oft nur schwer nachzuvollziehen. Ziegler meint, auch Nichtmathematiker könnten mathematische Ästhetik genießen, ähnlich wie sich jedermann an Musik oder Gemälden erfreuen könne. Doch koste das schon einiges Gehirnschmalz. Anders als etwa in der Musik gebe es in der Mathematik keine seichten Werke. Das liege in der Natur der Sache. Eine Ahnung von mathematischer Schönheit können vielleicht die folgenden drei Beweise aus dem BUCH vermitteln.

Sehnsucht nach Unendlichkeit An erster Stelle im BUCH steht der Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt - und es werden gleich sechs Beweise dafür angeführt.

Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar sind, zum Beispiel 5, 7, 47 oder 101. Der berühmteste und älteste Beweis für deren Unendlichkeit stammt von Euklid und ist mehr als 2200 Jahre alt. Es ist ein Widerspruchsbeweis: Euklid ging von der Annahme aus, es gebe nur endlich viele Primzahlen, und zog daraus so lange logische Schlüsse, bis er auf einen offensichtlichen Widerspruch stieß. Damit musste irgendetwas falsch sein. Da sich in die Schlusskette kein Lapsus eingeschlichen hatte, konnte es nur die Annahme sein. Demnach musste es unendlich viele Primzahlen geben.

Der Beweis im Detail: Angenommen, es existierten nur endlich viele Primzahlen. Dann ließen sich diese auflisten, etwa als p1, p2, p3, ... pr, wobei r für die (endliche) Anzahl der Primzahlen steht. Nun betrachtete Euklid die Summe aus dem Produkt dieser Zahlen plus 1: p1 p2 ...

pr + 1.

Diese Zahl, sie möge n heißen, kann keine Primzahl sein, weil sie in der vollständigen Primzahl-Liste p1, ... pr nicht auftaucht. Also muss sie durch eine Primzahl teilbar sein, irgendein pi, mit i zwischen 1 und r. Dieses pi ist natürlich auch ein Teiler des Produkts p1 ...

pr, also der Zahl n-1. Wenn pi ein Teiler von n und n-1 ist, dann muss es auch die Differenz teilen. Die ist aber 1, und das ist unmöglich. Unsere Annahme muss demnach falsch gewesen sein. Also gibt es unendlich viele Primzahlen.

William Dunham, Mathematikprofessor im amerikanischen Pennsylvania, bezeichnet Euklids Beweis als Lackmustest für mathematische Sensibilität: "Diejenigen mit einem natürlichen Hang zur Mathematik rührt er zu Tränen, diejenigen ohne einen solchen Hang finden ihn zum Heulen." Für Erdös stellte er ein Schlüsselerlebnis dar: "Als ich zehn war, erzählte mir mein Vater vom Euklidischen Beweis, und ich hatte angebissen."

Mikado auf dem Dielenboden Lässt man eine Nadel auf liniertes Papier (oder auf einen Boden mit parallelen Dielenbrettern) fallen, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass die Nadel eine der Linien kreuzt? Dieser Wert hängt von der Länge der Nadel ab (nennen wir sie l) und von dem Abstand zwischen den Linien (d). Wenn l kleiner als d ist oder gleich groß, die Nadel also höchstens eine Linie trifft, so lautet die Lösung 2 l/p d. Dabei steht p für die Kreiszahl Pi gleich 3,14159...

Josephe Emile Barbier bewies diese Behauptung vor knapp 150 Jahren, indem er die Sache zunächst scheinbar verkomplizierte: Er ließ Nadeln beliebiger Länge zu, die das Linienmuster also durchaus auch mehrmals kreuzen konnten. Für die Zahl dieser Kreuzungen gibt es dann den aus der Statistik bekannten so genannten Erwartungswert. Dieser ist p1 + 2 p2 + 3 p3 + ..., wobei p1 für die Wahrscheinlichkeit steht, dass die Nadel genau eine Linie trifft, p2 für 2 Linien, p3 für 3 Linien. Außerdem ließ Barbier nicht nur gerade Nadeln zu, sondern auch geknickte und gebogene. Für alle diese Nadeln gilt: Verlängert oder verkürzt man sie um einen gewissen Faktor, so vergrößert oder verkleinert sich der Erwartungswert um denselben Faktor. Ziehen wir eine Nadel etwa auf die doppelte Länge, verdoppelt sich auch ihr Erwartungswert.

Und auch wenn man es zuerst nicht glauben möchte: Der Erwartungswert für eine beliebig verbogene Nadel ist derselbe wie für eine gerade Nadel gleicher Länge (man kann sich das vielleicht so verdeutlichen: Ein verknäulter Draht trifft vielleicht seltener überhaupt eine Linie - dafür entstehen dann aber gleich mehrere Kreuzungspunkte auf einmal. Die exakten Beweise finden interessierte Leser im BUCH).

Nun betrachtete Barbier eine ganz spezielle krumme "Nadel": nämlich eine in Gestalt eines Kreises, dessen Durchmesser exakt dem Abstand der Linien entspricht. Egal, wie man diesen Kreis auf den Boden wirft - er wird die Linien in genau zwei Punkten schneiden (siehe Zeichnung). Der Erwartungswert für die Anzahl der Überschneidungen beträgt also exakt 2. Die Länge dieser Spezialnadel ist der Kreisumfang, und der ist p d. Da der Erwartungswert von der Form des Drahtes unabhängig ist, hat auch eine gerade Nadel der Länge p d den Erwartungswert 2. Um sie auf die Länge l zu kürzen, müssen wir ihre Länge mit dem Faktor l/p d malnehmen. Der Erwartungswert schrumpft entsprechend auf 2 l/p d. Da aber kurze Nadeln (mit l kleiner oder gleich d) die Linien nicht öfter als einmal kreuzen können, stimmt der Erwartungswert mit der Wahrscheinlichkeit für einen Kreuzungspunkt überein. Damit ist der Satz bewiesen.

Die Big-Brother-Formel gegen tote Winkel Ein Museumsdirektor ist sehr um die Sicherheit seiner Exponate besorgt.

Er möchte schwenkbare Videokameras so installieren, dass jeder Punkt des Museums im Blickfeld von mindestens einer Kamera liegt. Wie viele Kameras sind nötig?

Das hängt natürlich vom Grundriss des Museums ab. Für viele Gebäude wird eine Kamera pro Ausstellungsraum genügen. Nicht aber für verwinkelte Museen wie etwa das Jüdische Museum in Berlin. Die Behauptung ist: Für jedes Museum mit n geraden Wänden genügen În/3ø Kameras. În/3ø steht dabei für den ganzzahligen Anteil von n/3, bei n = 11 zum Beispiel für 3, bei n = 301 für 100. Dass es tatsächlich Fälle gibt, in denen man nicht mit weniger Kameras auskommt, zeigt der kammförmige Grundriss eines (hypothetischen) Museums. Für jeden Zacken des Kamms braucht man eine eigene Kamera, da von keinem Punkt aus zwei Zackenspitzen einsehbar sind. Aber genügen În/3ø Kameras in jedem Fall?

Um das zu beweisen, stellte sich Steve Fisk vom Bowdoin College in Brunswick, Maine, vor rund 25 Jahren einen beliebigen Grundriss (mit geraden Wänden) vor. Dann verband er dessen Ecken so lange über sich nicht kreuzende Diagonalen miteinander, bis der Innenraum in Dreiecke aufgeteilt war (siehe Zeichnung rechts) und stellte eine neue Behauptung auf: Die Eckpunkte dieses Dreiecknetzes lassen sich so mit den Farben Rot, Blau und Grün färben, dass zwei Ecken, die durch eine Wand oder eine Diagonale miteinander verbunden sind, niemals dieselbe Farbe haben. In der Zeichnung sind die Ecken entsprechend koloriert. Gelingt es, die Dreifarbenaussage zu beweisen, ist der Rest einfach: Da es insgesamt n Ecken gibt, muss es eine Farbe geben, in der höchstens În/3ø Ecken angemalt sind (in diesem Fall die grünen). In jeder dieser Ecken wird eine Videokamera postiert, die das ganze Dreieck überblickt. Da jedes Dreieck eine Ecke in dieser Farbe enthält, ist jeder Punkt des Museums einsehbar.

Die Dreifarbenbehauptung bewies Fisk mit einem so genannten Induktionsbeweis - einem raffinierten mathematischen Trick, sich von Aussagen für kleine Zahlen zu solchen über große hochzuhangeln. Fisk begann mit dem einfachsten Fall: Ist n gleich 3, lässt sich natürlich jede der (drei) Ecken mit einer anderen Farbe kennzeichnen. Anschließend nahm er an, der Satz sei für alle Anzahlen von Ecken bis n-1 bereits bewiesen, und folgerte daraus seine Richtigkeit für n Ecken (n ist jetzt größer als 3). In dem Gebilde aus lauter Dreiecken wählte Fisk dazu zwei beliebige Ecken aus, nennen wir sie u und v, die über eine Diagonale miteinander verbunden sind. Diese Diagonale zerlegt das Gebilde in zwei kleinere Figuren aus lauter Dreiecken. Da diese weniger als n Ecken haben, können wir sie nach der Induktionsannahme so mit drei Farben anmalen, dass miteinander verbundene Ecken verschiedene Farben haben.

Sollte nun die Ecke u in den Färbungen der beiden Teilgebilde verschiedene Farben erhalten, etwa in einem Fall Rot, im anderen Blau, wird umgefärbt: In einem der beiden Teilgebilde werden die roten Ecken zu blauen und die blauen zu roten. Genauso verfahren wir mit der Ecke v. Die Kombination der beiden Färbungen ergibt eine zulässige Färbung für das Gesamtgebilde mit n Ecken.

Damit ist die Dreifarbenbehauptung bewiesen und das Museumsproblem gelöst.

Weitere Beweise im Internet: www.zeit.de/2002/25/mathematik