Die Antwort gibt die Topologie, eine recht junge mathematische Disziplin, die Poincaré wesentlich mit begründet hat. Der Unterschied zwischen der Sphäre und dem Torus ist der folgende: Auf der Sphäre kann man jeden geschlossenen Weg, den man sich wie ein Gummiband vorstellen kann, auf einen Punkt zusammenziehen. Beim Torus geht das nicht, da gibt es Wege, bei denen das Gummi nicht zusammenschnurren kann. Alle beschränkten zweidimensionalen Räume, bei denen sich alle geschlossenen Wege zusammenziehen lassen (man nennt sie "einfach zusammenhängend"), entsprechen einer Kugeloberfläche. Das ist seit dem 19. Jahrhundert bekannt.

Poincarés Vermutung überträgt das nun in drei Dimensionen. Es ist schwer, sich solche dreidimensionalen Räume vorzustellen, die endlich sind, aber keinen Rand haben – eigentlich bräuchte man eine vierte Dimension dazu, so wie wir uns die zweidimensionale Sphäre im dreidimensionalen Raum eingebettet vorstellen. Andererseits leben wir aber genau in einem solchen Objekt: Unser Universum ist ein dreidimensionaler Raum, der – nach allem, was die Kosmologie heute weiß – nicht unendlich groß ist, und trotzdem stößt man nirgends an eine Wand. Und über solche Räume vermutete Poincaré: Wenn man in ihnen alle geschlossenen Wege auf einen Punkt zusammenziehen kann, dann sind sie äquivalent zur Drei-Sphäre.

Laien haben Probleme, sich solch höherdimensionale Strukturen vorzustellen. Mathematiker auch – aber sie haben ihren Formalismus und können unter dem Motto "Augen zu und rechnen" Aussagen über Objekte machen, die sich ihrer Anschauung entziehen. Der Formalismus ist nicht auf drei Dimensionen beschränkt, sondern man kann auch mit vier, fünf oder gar unendlich vielen Dimensionen rechnen. Schon 1961 zeigte Stephen Smale – der auch diese Woche in Paris anwesend war –, dass Poincarés Aussage in Räumen mit der Dimension fünf oder mehr gilt. 1982 bewies Michael Freedman die Gültigkeit für die Dimension vier. Just die Dimension drei, in der wir leben, erwies sich als die vertrackteste. Das hängt damit zusammen, dass der dreidimensionale Raum der einzige ist, in dem es Knoten gibt – in höheren Dimensionen lösen sich alle Verschlingungen einer Kurve problemlos auf.

Mit den Mitteln der Topologie allein ließ sich das Problem nicht lösen. Die rettende Idee kam durch den Amerikaner Richard Hamilton Anfang der achtziger Jahre. Er wandte Methoden der Analysis auf komplexe dreidimensionale Formen an und erkannte, dass man sie mithilfe des sogenannten Ricci-Flusses vereinfachen konnte. So wie sich die Temperaturen in einem ungleichmäßig erhitzten Stück Metall mit der Zeit ausgleichen, weil die Wärme auf berechenbare Weise durch die Struktur fließt, so ließen sich auch Auswüchse der lokalen Geometrie in einem dreidimensionalen Raum glätten. Eine äußerst schwierige Methode, die immer wieder an sogenannten Singularitäten scheiterte, Stellen, an denen die Krümmung des Raumes unendlich groß wurde.

Das Genie zähmte die wilden mathematischen Gebilde

Perelmans Leistung war es, diese "pathologischen" Stellen im Ricci-Fluss zu umschiffen und zu zeigen, dass man mit diesem Werkzeug "wilde" Geometrien zu regulären umformen konnte. Damit erledigte er nicht nur die Poincarésche Vermutung, sondern bewies die von Thurston 1982 aufgestellte Klassifizierung sämtlicher dreidimensionaler Räume.

Richard Hamilton, der auch ein mathematischer Einzelgänger ist, fehlte diese Woche auf der Veranstaltung in Paris, obwohl er eingeladen worden war. Vielleicht hätte die Geschichte einen anderen Verlauf genommen, wenn er einen Brief aus Sankt Petersburg beantwortet hätte, den ihm sein glühender Verehrer Perelman im Jahr 1995 schickte. Der Russe bot ihm darin an, zusammen am Problem des Ricci-Flusses zu arbeiten. Als er keine Antwort bekam, entschloss sich Perelman, allein weiterzuarbeiten. Aus dieser mathematischen und persönlichen Isolation hat er bis heute keinen Ausweg gefunden.