Und ewig meckert die Ziege

Ach, das Ziegenproblem! Es beschäftigt die Leser dieser Zeitung seit zwei Jahrzehnten. In der Ausgabe 30/91 erschien der erste Artikel zu dieser scheinbar so einfachen Denksportaufgabe und löste eine Flut von Zuschriften aus , auch von Mathematikprofessoren. Bis heute erhitzt das mathematische Problem die Gemüter.

Für alle, die sich später zugeschaltet haben, hier die Originalformulierung des Problems: "Sie nehmen an einer Spielshow im Fernsehen teil, bei der Sie eine von drei verschlossenen Türen auswählen sollen. Hinter einer Tür wartet der Preis, ein Auto, hinter den beiden anderen stehen Ziegen. Sie zeigen auf eine Tür, sagen wir, Nummer 1. Sie bleibt vorerst geschlossen. Der Moderator weiß, hinter welcher Tür sich das Auto befindet; mit den Worten ›Ich zeige Ihnen mal was‹ öffnet er eine andere Tür, zum Beispiel Nummer 3, und eine meckernde Ziege schaut ins Publikum. Er fragt: ›Bleiben Sie bei Nummer 1, oder wählen Sie Nummer 2?‹ – Ja, was tun Sie jetzt?"

Viele sagen intuitiv: Es ist egal, ob man seine Meinung wechselt – es bleiben zwei Türen, hinter einer steht das Auto, die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt jeweils 50 Prozent.

Aber das stimmt nicht, denn die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit für Tür 1 war ein Drittel, auf Tür 2 und 3 entfielen zwei Drittel. Da Tür 3 nach der Aktion des Moderators definitiv ausfällt, steht das Auto mit einer Wahrscheinlichkeit von zwei Dritteln hinter Tür 2. Also sollte man wechseln!

In der Ziegenproblemforschung ging es allerdings nie um die Lösung an sich, sondern stets um die Frage: Wie kann man die Sache so formulieren, dass sie ihre Paradoxie verliert und jedem die Lösung einleuchtet? Der Mathematiker Sascha Gnedin von der Universität Utrecht unternimmt nun einen neuen Versuch, der in der Zeitschrift Mathematical Intelligencer zu lesen sein wird. Seiner Meinung nach ist es ein Fehler, die Sache als Glücksspiel anzusehen, dem man mit den Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu Leibe rücken muss. Denn in dem Spiel kommt an keiner Stelle der Zufall zum Zuge: Die Redaktion versteckt das Auto hinter einer der drei Türen, der Moderator sucht sich (falls er überhaupt die Wahl hat) eine Tür aus, die er öffnet. Menschen haben Vorlieben – was zum Beispiel, wenn der Moderator gehfaul ist und am liebsten die Tür öffnet, der er am nächsten steht?

"Im Schach kommt man auch nicht auf die Idee, über den nächsten Zug mit einem Münzwurf zu entscheiden", sagt Sascha Gnedin. Vielmehr geht es darum, den optimalen Zug in einem Spiel zu finden, in dem auf beiden Seiten Menschen sitzen, die gewinnen wollen. Also solle man sich der mathematischen Theorie bedienen, die solche strategischen Probleme behandelt: der Spieltheorie.

Im Gegensatz zum Schach, dessen Spielvariationen endlich, aber unüberschaubar sind, lässt sich das Ziegenproblem als Spiel sehr leicht vollständig beschreiben. Es besteht aus genau vier Zügen: Im ersten wird das Auto versteckt, im zweiten wählt der Kandidat eine Tür, im dritten öffnet der Moderator eine Ziegentür, und im vierten entscheidet sich der Showgast, ob er bei seiner Wahl bleibt oder wechselt. Insgesamt gibt es 24 mögliche Spielverläufe.

"Wechsle, nachdem der Moderator eine Ziegentür geöffnet hat"

Für ein derart überschaubares Spiel kann sich der Kandidat leicht eine Strategie wählen, die alle denkbaren Fälle abdeckt – schon bevor er überhaupt das Fernsehstudio betritt. Zwölf Strategien hat er zur Auswahl: Am Anfang wählt er eine der drei Türen. Dann bleiben jeweils zwei Türen, die der Moderator öffnen könnte, und für jeden dieser Fälle kann er sich überlegen, ob er bei seiner Wahl bleibt oder wechselt.

Gnedin argumentiert nun: Die drei Strategien "Wähle Tür x und wechsle auf jeden Fall, nachdem der Moderator eine Ziegentür geöffnet hat" sind besser als die anderen, sie "dominieren" sie, wie der spieltheoretische Ausdruck heißt.

In der klassischen Version der Geschichte, die mit Wahrscheinlichkeiten argumentiert, werden nur die beiden Strategien verglichen, bei denen der Kandidat Tür 1 gewählt hat. Dann gewinnt etwa die Strategie A: "Wähle Tür 1 und bleibe dabei, egal was der Moderator tut", wenn das Auto hinter Tür 1 steht. Die Strategie B: "Wähle Tür 1 und wechsle auf jeden Fall" gewinnt bei Tür 2 und 3. Überlegen ist die zweite Strategie nur unter der Annahme, dass das Auto in weniger als 50 Prozent der Fälle hinter Tür 1 verborgen ist. Aber vielleicht hat das Spielteam ja eine Vorliebe für Tür 1?

Gnedins Idee war es nun, Strategie A auch mit anderen Wechselstrategien zu vergleichen, etwa mit der Strategie C: "Wähle Tür 2 und wechsle auf jeden Fall". Diese Strategie gewinnt, wenn das Auto hinter Tür 1 steht, aber auch, wenn es hinter Tür 3 steht. Sie dominiert Strategie A in dem Sinne, dass sie immer gewinnt, wenn A gewinnt, aber auch noch in einem weiteren Fall. Gnedin hat somit gezeigt: Die drei Strategien, bei denen der Kandidat eine Tür wählt und dann unbedingt wechselt, dominieren die neun anderen Strategien – ohne Annahmen über irgendwelche Wahrscheinlichkeiten.

Welche Tür der Kandidat nun als erste wählen soll, sagt diese Überlegung freilich nicht. Glaubt er, dass das Auto zufällig platziert worden ist, sollte er seine Wahl auch zufällig treffen. Hegt er jedoch den Verdacht, dass das Auto nicht mit der gleichen Wahrscheinlichkeit hinter jeder der drei Türen steckt, dann sollte er die unwahrscheinlichste wählen – weil er im nächsten Schritt ja wechselt, maximiert er so seine Chancen.

(Anmerkung: Inzwischen ist der Artikel von Sascha Gnedin erschienen, die Adresse: http://www.springerlink.com/content/8402812734520774/fulltext.pdf )