Ist unsere Welt dreidimensional? Eigentlich nicht. Schon ein digitales Urlaubsfoto auf dem Computerbildschirm kann man als ein mindestens fünfdimensionales Objekt betrachten: Jeder Bildpunkt hat zwei Koordinaten, die seine Position angeben, sowie eine Farbe, die sich aus drei Werten zusammensetzt, dem Rot-, Grün- und Blauanteil. So gesehen, wird aus dem flachen Urlaubsfoto plötzlich eine Punktwolke in einem fünfdimensionalen Raum. Und von wegen Länge, Breite, Höhe: Die Dimensionen werden hier obendrein eine reichlich bunte Angelegenheit.

Tatsächlich benutzen Mathematiker, wenn sie vier- oder höherdimensionale Räume visualisieren sollen, bisweilen Farbe als "Ersatzdimension", um das Unvorstellbare bildlich vorstellbar werden zu lassen. Denn eines ist trotz aller Hilfsmittel sicher: Mehr als drei Dimensionen kann man nicht so leicht imaginieren. Der Mathematiker Vašek Chvátal warnt die Leser seines Lehrbuchs über Lineare Programmierung sogar mit einem Augenzwinkern: "Versuchen Sie niemals, sich n-dimensionale Objekte für n größer oder gleich 4 vorzustellen. Das ist nicht nur von vornherein zum Scheitern verurteilt – es könnte auch der geistigen Gesundheit schaden."

Dennoch käme kein moderner Mathematiker auf die Idee, nur noch im Dreidimensionalen zu forschen. Mathematik findet heute selbstverständlich in vielen Dimensionen statt. Beispiel: Werden die digitalen Urlaubsfotos per WLAN übertragen, dann passieren Übertragungsfehler, die wieder ausgebügelt werden müssen. Dazu zerlegt man das Bild in Pakete – und jedes dieser Pakete wird als ein Punkt in einem Raum begriffen, der einige Dutzend Dimensionen besitzt.

Noch vor hundert Jahren hätten viele Mathematiker damit nicht entspannt umgehen können. Erst 1913 definierte der niederländische Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer, was eine Dimension ist, und legte damit den Grundstock für eine systematische Dimensionstheorie.

Zuvor hatte man Dimension nur intuitiv als Länge, Breite und Höhe begriffen. Vier Dimensionen waren durchaus schon diskutiert worden, die vierte war dann aber rasch in der Schublade verschwunden. "Ein schlauer Bekannter von mir glaubt, dass man eine Zeitspanne als vierte Dimension betrachten kann; diese Idee mag man kritisieren, aber sie besitzt meiner Ansicht nach einen gewissen Wert, und sei es, dass sie neu ist", schrieb D’Alembert 1754 in Diderots berühmter Enzyklopädie unter dem Stichwort "Dimension", lange vor Einsteins vierdimensionaler Raumzeit.

Doch im Alltagsgeschäft blieb die Mathematik bis zum Ende des 19. Jahrhunderts fast ausschließlich dreidimensional. Motto: Es kann nicht sein, was man nicht denken kann. 1827 etwa entdeckte August Ferdinand Möbius, Professor in Leipzig und Entdecker des berühmten gewundenen "unendlichen" Bandes, dass man zweidimensionale Körper zwar nicht durch eine Drehung in der Ebene, wohl aber durch eine Drehung im Raum in ihr Spiegelbild verwandeln kann – was jeder weiß, der schon mal eine Overheadfolie verkehrt herum a uf dem Projektor platziert hat. Möbius erkannte, dass das ganz analog auch mit dreidimensionalen Körpern funktioniert. Dreht man sie geschickt in vier Dimensionen, erhält man eine dreidimensionale Spiegelung. Aber dann verzagte der Denker: "Da aber ein solcher Raum nicht gedacht werden kann, so ist auch die Coincidenz in diesem Falle unmöglich." Basta und ad acta.

Die Dimension kann auch gebrochene Werte annehmen

Erst gegen Ende des 19. Jahrhunderts begann man, das Denkverbot aufzubrechen. Man war aufs Neue auf die vierte Dimension gestoßen. Der Mathematiker Georg Cantor hatte eine Abbildung entdeckt, die eine Linie von der Länge 1 auf Würfel in beliebiger Dimension mit Kantenlänge 1 abbildet, und zwar so, dass jedem Punkt im Würfel genau ein Bild in der Strecke entspricht. Ergo musste eine eindimensionale Strecke dieselbe Anzahl Punkte enthalten wie ein zweidimensionales Quadrat, ein dreidimensionaler Würfel, ein vierdimensionaler Hyperwürfel und so weiter. Offenkundig hatte die Dimension mit dem Verb "messen" – so die ursprüngliche Bedeutung des Wortstammes – nur bedingt etwas zu tun. Ungläubig schrieb Cantor seinem Freund Richard Dedekind: "Ich kann, so lange Sie mir nicht zugestimmt haben, nur sagen: Je le vois, mais je ne le crois pas." – "Ich sehe es, aber ich glaube es nicht."

Neu-Definition des Begriffs Dimension

Cantors Abbildung hatte indessen einen kleinen Schönheitsfehler: Sie machte Sprünge. Man begann also, eine Abbildung zu suchen, die dasselbe glatt erledigt: Eine Kurve, die sich zum Beispiel ohne Überschneidungen und Berührungen durch ein Quadrat, einen Würfel oder dessen höherdimensionale Pendants windet und sie komplett ausfüllt. Die Suche war vergeblich. Erst 1911 konnte Luitzen Egbertus Jan Brouwer zeigen, dass eine solche stetige Abbildung gar nicht existieren kann, egal, in welcher Dimension.

Brouwer hatte damit ein jahrzehntealtes Problem gelöst und dafür ein neues auf seinen Seziertisch bekommen: Was sind Dimensionen überhaupt? Die Dimension eines Raumes mochte ja noch einigermaßen durch Länge, Breite, Höhe und gegebenenfalls mehr zu fassen sein – aber was ist die Dimension einer gelochten Linie? Oder, noch schlimmer – welche Dimension hat ein fünfdimensionaler Schwimmreifen, bevor mit irgendeiner mathematischen Abbildung die Luft aus ihm herausgelassen wird?

1913 definierte Brouwer daher die Dimensionen neu. Sein Ausgangspunkt: Punkte sowie Mengen von diskreten, voneinander isolierten Punkten haben keine Dimension. Um Brouwers Definition höherer Dimensionen zu verstehen, betrachtet man am besten einen Faden und malt darauf Abschnitte rot beziehungsweise grün an. Die Farben dürfen sich nicht überschneiden. Offensichtlich kann man dann – egal, wie die roten und grünen Bereiche aussehen – eine Schere nehmen und den Faden in rote und grüne Teilstücke zerschneiden. Man kann also eine Menge von Punkten auf dem Faden angeben, die Rot von Grün trennen. Und weil man so jede Rot-Grün-Färbung des Fadens durch eine nulldimensionale Punktmenge zerteilen kann, ist der Faden für Brouwer ein eindimensionales Objekt. Dass auf einer kreisförmigen Pizza zwei Stücke stets durch – womöglich recht krumme, aber stets eindimensionale – Schnitte voneinander zu trennen sind, macht die Pizza im Sinne Brouwers zu einem zweidimensionalen Objekt. Und so weiter.

Fortan hatte die Mathematik eine neue, schnittige Dimensionsdefinition. Mit dem intuitiven Länge-Breite-Höhe-Begriff, das konnte Brouwer zeigen, passte sie gut zusammen. Nur sechs Jahre später ging der Mathematiker Felix Hausdorff noch einen Schritt weiter: In seinem Dimensionsbegriff spielte explizit die Menge der Punkte, ihr Maß, eine Rolle – und das brachte es mit sich, dass Mengen bei ihm auch gebrochenzahlige Dimensionen haben konnten, wenn sie sehr zerfasert waren. Ein Paradebeispiel ist die Koch-Kurve, eine Linie, die nach einer einfachen Regel unendlich oft geknickt und ausgefaltet wird. Brouwer hätte dieser durchgehenden Linie die Dimension 1 verpasst – bei Hausdorff bekam sie eine Dimension von etwa 1,2619. Intuitiv gesprochen: Die Koch-Linie ist keine Gerade mehr, sondern füllt durch ihre Windungen schon so viel Ebene, dass sie sich der Zweidimensionalität annähert.

In der Folge wurden zahlreiche weitere "fraktale" Dimensionsbegriffe entwickelt. Heute hat man dadurch ein großes Instrumentarium, um Dimensionen von Mengen abschätzen zu können. Sich höherdimensionale Räume vorzustellen wird dadurch aber nicht leichter: Immer noch narrt einen die Intuition gern, sobald man sich in höhere Dimensionen begibt. Kleines Beispiel: Ein Kreis, eingepasst in ein Quadrat, bedeckt rund 79 Prozent der Quadratfläche. Eine dreidimensionale Kugel, eingepasst in einen dreidimensionalen Würfel, füllt noch etwa 52 Prozent des Würfelvolumens aus. Je höher die Dimension wird, desto kleiner wird der Anteil des "Hypervolumens", den die Kugel bedeckt, tatsächlich geht er gegen null. Vorstellen kann sich so viel leeren Hyperraum niemand – auch kein Mathematiker.