Die Frage dieser Woche stammt nicht von einem wissbegierigen Leser – der Mathematiker und ZEIT-Autor Andreas Loos machte mich auf einen Aufsatz von Thomas Bedürftig von der Universität Hannover aufmerksam, der dieses Problem behandelt.

Mathematisch Gebildete antworten auf die Frage meistens: Natürlich ist 0,999... gleich 1! Fragt man dagegen Schüler der Klassen 7 bis 12, wie es der Didaktiker Ludwig Bauer von der Universität Passau getan hat, dann antworten die meisten: 0,999... ist kleiner als 1. Zwischen den beiden Zahlen bestehe eine "unendlich kleine" Differenz. Aber unendlich kleine Zahlen gibt es in der Mathematik der reellen Zahlen nicht.

Dass die beiden Zahlen gleich sind, kann man auf mehrfache Weise begründen. Zum Beispiel damit, dass ein Drittel bekanntlich 0,333... ist und folglich drei Drittel 0,999..., und drei Drittel sind natürlich gleich 1. Etwas mathematischer: Die drei Punkte bedeuten, dass man einen sogenannten Grenzwert betrachtet. Mit immer mehr Nachkommastellen nähert man sich der 1 beliebig an, die Differenz ist kleiner als jede positive Zahl, also 0.

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Soll man über die Naivität der Schüler die Nase rümpfen? Es gibt tatsächlich eine alternative Mathematik, in der auch unendlich kleine Werte existieren – die sogenannten hyperreellen Zahlen. Und dort ist 0,999... auch kleiner als 1. Mit solchen Zahlen rechnete etwa Leibniz bei der Erfindung der Infinitesimalrechnung. Die korrekte Antwort auf die Frage lautet also: Es kommt darauf an, welche Art der Mathematik man betreibt.

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