Primzahlen sind einfach zu verstehen: Eine Zahl ist eine Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, alle anderen Zahlen lassen sich auf eindeutige Weise in Primzahlfaktoren zerlegen. Mysteriös aber ist die Folge dieser Zahlen: In welchen Abständen tauchen sie auf? Warum gibt es mal große Lücken zwischen ihnen, mal kleine? Und welche Zahl folgt auf welche? Seit Jahrtausenden brüten Wissenschaftler über derlei Fragen. Nun sind zwei Mathematiker auf eine Erkenntnis gestoßen, mit der niemand gerechnet hatte: Jede Primzahl hat eine gewisse Vorliebe dafür, was für eine Zahl als nächste an der Reihe ist.

In unserem gewohnten Zehnersystem enden alle Primzahlen (mit Ausnahme der 2 und der 5) auf eine der Ziffern 1, 3, 7 und 9. Denn Zahlen, die auf eine gerade Ziffer enden, sind durch 2 teilbar, und Zahlen mit der Endziffer 5 durch 5. Schreibt man nur die letzte Ziffer der Primzahlen auf, dann sieht die Folge ab der Zahl 7 so aus: 7, 1, 3, 7, 9, 3, 9, 1, 7, 1, ... Ein offensichtliches Muster ist auf den ersten Blick nicht erkennbar. Natürlich sind die Primzahlen alle exakt festgelegt, aber bisher hätte jeder Fachmann gesagt: Die Folge könnte auch mit einem vierseitigen Würfel erzeugt worden sein. Keine Ziffer ist bevorzugt, jede taucht gleich häufig in dieser Folge auf.

Aber solche scheinbar oder tatsächlich zufälligen Folgen können es in sich haben. Im vergangenen Semester war der Mathematiker Tadashi Tokieda von der Universität Cambridge zu Gast im kalifornischen Stanford, und er hielt unter anderem einen Vortrag über Zufallsprozesse mit Eigenschaften, die der Intuition widersprechen: So sind bei einer Folge von Münzwürfen die Paare Kopf-Kopf und Kopf-Zahl gleich wahrscheinlich, wenn man zwei beliebige Würfe herausgreift (jeweils 25 Prozent). Versucht man aber gezielt, eine dieser Kombinationen zu werfen, dann braucht man für Kopf-Kopf im Durchschnitt länger als für Kopf-Zahl. Das glauben Sie nicht? Probieren Sie es aus!

Kannan Soundararajan, Mathematikprofessor in Stanford, und der Postdoc Robert Lemke Oliver waren schwer beeindruckt. Sie überlegten, ob es in ihrem Fachgebiet, der Zahlentheorie, vielleicht ähnliche auf den ersten Blick nicht plausible Phänomene geben könnte, und kamen auf die Primzahlen, die wie gewürfelt aussehen. Die beiden untersuchten die Folge der Endziffern von Primzahlen genauer. Wäre sie wirklich eine Zufallsfolge, dann würde auf eine 1 mit jeweils 25-prozentiger Wahrscheinlichkeit eine 1, 3, 7 oder 9 folgen. Die beiden werteten per Computer alle Primzahlen bis zu einer Billion aus, darunter etwa 9,4 Milliarden, die auf eine 1 enden. Wären die Endziffern der jeweils folgenden Primzahlen gleichmäßig verteilt, dann müssten etwa 2,4 Milliarden ebenfalls mit einer 1 enden – es sind aber nur 1,8 Milliarden. Dafür enden 2,7 Milliarden mit einer 3! Eine solche Abweichung konnte nun wirklich kein Zufall sein.

Diese seltsame Vorliebe, die Primzahlen für bestimmte Nachfolger hegen, ist nicht nur in unserem vertrauten Dezimalsystem nachweisbar, dessen Basis die Zahl 10 ist. Die Mathematiker untersuchten auch Systeme mit der Basis 3 (da enden alle Primzahlen auf 1 oder 2), 8 und 12 und fanden eine Erklärung für dieses zunächst unerklärliche Phänomen. Der Schlüssel dazu war die sogenannte Hardy-Littlewood-Vermutung aus dem Jahr 1923. Die macht sehr detaillierte Aussagen über Gruppen benachbarter Primzahlen, hat aber den Schönheitsfehler, dass sie unbewiesen ist – auch wenn die meisten Mathematiker von ihrer Richtigkeit überzeugt sind. Falls sie stimmt, dann stimmt auch eine Formel, die Lemke Oliver und Soundararajan aufstellten. Und die sagt ziemlich genau voraus, wie häufig sich Primzahlen gewisse andere als Nachfolger aussuchen. Zudem behauptet sie, dass das Ungleichgewicht kleiner wird, je größere Zahlen man untersucht.

Warum betreibt man solche Primzahlen-Inspektion? Bringt das neue Resultat die Mathematik einem Beweis dieser monumentalen Vermutung näher? "Eher nicht", sagt Robert Lemke Oliver bescheiden. "Ich würde mich wundern, wenn die Hardy-Littlewood-Vermutung zu meinen Lebzeiten bewiesen würde." Die Rätsel der Primzahlen werden noch einige Mathematiker-Generationen beschäftigen.