5 Mal Hummels, 3 Mal Neuer – dafür fehlen Schweinsteiger und der schimmernde Pokal. Wer EM-Bildchen sammelt, kennt das Dilemma: Es ist eine Herausforderung, das Sammelheft zur Fußball-Europameisterschaft letztlich voll zu bekommen. Wie also füllen Sie es am effektivsten? Im Wesentlichen gibt es drei Möglichkeiten. Sie können tauschen, ihren Besitz poolen oder alleine Bildchen kaufen. Mathematiker haben gezeigt, welche Methode besonders effektiv ist.

Beispiel Panini: Für die 96 Seiten des aktuellen EM-Albums von Panini sind 680 verschiedene Bildchen nötig. Eine Stickertüte enthält fünf Sticker, im Album sind vorab schon sechs Sticker eingeheftet. Für ein Album und 674 Bildchen – beziehungsweise 135 Tütchen – entstehen Kosten in Höhe von 96,50 Euro, wenn man für ein Album zwei Euro und eine Tüte 70 Cent rechnet. Wer es schafft, alle doppelten Bilder gegen die, die man braucht, zu tauschen, ist mit knapp 96,50 Euro fertig. Tauschen ist die billigste Lösung.

Sechs Richtige sind vergleichsweise ein Klacks

Wer nicht mehr ausgeben will, dem bleibt sehr wahrscheinlich nichts anderes übrig, als zu tauschen. Die Wahrscheinlichkeit, beim zufälligen Ziehen aus 680 Karten keine Karte zweimal zu ziehen, beträgt nur etwa 0,…125, wobei die drei Punkte für 290 Nullen stehen. Sechs Richtige im Lotto "6 aus 49" sind schon mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 0,000000071511 zu kriegen, im Vergleich dazu ein Klacks. Schon unter den ersten drei Tütchen und den sechs Startkarten im Album findet man mit mehr als 20 Prozent Wahrscheinlichkeit eine doppelte!

Wer nie tauscht, hat daher mit großer Wahrscheinlichkeit nur eine Möglichkeit: weiterkaufen – bis das Album voll ist. Würde man die Bildchen einzeln, also nicht in Päckchen, kaufen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, erst nach 6.000 Bildchen ein volles Album zu besitzen, immer noch mehr als ein Zehntausendstel. Im Durchschnitt muss der Einzelkämpfer jedoch weniger Bildchen durchprobieren.

In den 1960er Jahren haben sich mehrere Mathematiker mit dieser Frage beschäftigt. Darunter der ungarische Paul Erdős, der unter Mathematikern als ebenso schräger wie genialer Kopf berühmt ist. Aus ihren Ergebnissen lässt sich herleiten, dass der Einzelkämpfer beim einzelnen Ziehen aus 680 Sammelbildchen im Durchschnitt 4.829 Bildchen (ein Album und 965 Päckchen) kaufen muss (siehe Kasten). Am Ende besitzt er ein volles Album, 4.149 doppelte Bildchen und hat dafür 677,50 Euro ausgegeben.

Good News: In Wirklichkeit sind es weniger, weil man die Bildchen ja in Tütchen kauft – und Panini beteuert, in kein Tütchen zwei gleiche Karten zu packen. Das erhöht die Chancen, in jedem neuen Päckchen neue Bildchen zu finden. Bad News: Die Verbesserung ist minimal. Wolfgang Stadje, Statistik-Professor in Osnabrück, hat 1990 mathematisches Handwerkszeug entwickelt, mit dem sich zeigen lässt, dass man für das aktuelle Panini-Album im Schnitt nur zwei Päckchen weniger braucht, als wenn man die Karten einzeln ziehen würde. Obendrein lässt sich Panini nicht in die Karten schauen: Wie genau ihre Mischmethode funktioniert, erfährt man nicht. Zwei Schweizer Mathematiker haben daher spekuliert, dass aufeinanderfolgende Chargen voneinander statistisch abhängig sein könnten. Womöglich hat das viel mehr Einfluss auf die Chancen als die Packungsgröße.

Glitzer : Normal = 1 : 9

Und wie sieht es bei anderen EM-Sammelalben aus? Für das aktuelle REWE-Sammelalbum gibt es 36 Karten, jeweils in normaler und in glitzernder Ausführung. Diese Kartentypen kommen nicht gleich oft vor. Wir haben den Test gemacht: Unter 19 Karten fanden wir zwei in Glitzer, was ein Verhältnis von 9:1 zwischen normal und Glitzer ist. Nimmt man also an, dass in der Herstellung einfach neun Sätze normale Karten und ein Satz Glitzerkarten perfekt gemischt werden, beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Glitzerkarte zu ziehen, 1/360. Für die nicht-glitzernden liegt sie entsprechend bei 9/360.

Für ein REWE-Album mit normalen Karten muss der Einzelsammler daher im Schnitt etwa 167 Karten sammeln. Und um alle Glitzerversionen zu besitzen, braucht er im Schnitt neunmal so viele Karten, also 1.503. Jede Karte bekommt man für einen REWE-Einkauf im Wert von 10 Euro; ein volles Glitzeralbum ist damit im Schnitt Einkäufe im Wert von mindestens 15.030 Euro wert.

Wer günstiger wegkommen will, muss kooperieren – und sich zum Beispiel mit seinem Nachbarn zusammentun. Alle neuen Karten kommen in einen Pool, aus dem sich beide bedienen. Gibt es eine Karte nur einmal, einigt man sich zum Beispiel per Münzwurf, wer sein Album als erstes befüllen darf. Die Formeln von Erdős und dessen amerikanischem Kollegen Donald Newman aus den 1960er Jahren zeigen, dass zwei so gemeinsam befüllte Panini-Alben viel schneller voll sind als zwei einzeln befüllte. Für die gemeinsamen Alben müssen die beiden Sammler zusammen nur noch in ungefähr 6.720 Bildchen investieren; ohne Kooperation brauchen sie zweimal 4.829 Bildchen, das 1,44-fache also.

Tauschbörsen im Internet sind im Prinzip eine Fortführung dieser Idee – und damit ein Problem für Hersteller wie Panini. Noch geht das Geschäft gut, besonders in Deutschland. 2014 machte Panini nach eigenen Angaben einen Umsatz von 751 Millionen Euro. Doch Panini reagiert offenkundig auf das Tauschen, indem es die Alben immer größer macht: 2004 enthielt das Panini-Album noch 334 Sticker, 2008 schon 535 und 2012 dann 566 Sticker. Mal sehen, ob bei der EM 2020 mehr als 700 Panini-Bildchen zu sammeln sind.